两条平行直线间的距离

时间:2019/9/9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.掌握两条平行直线间距离的定义.
2.会求两条平行直线间的距离.
知识点
  • 两条平行直线间的距离

    (1)定义:夹在两条平行直线间公垂线段的长叫做这两条平行直线间的距离.

    (2)求法:转化为求点到直线的距离,即在其中任意一条直线上任取一点,这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离.

    【做一做】 两条平行直线$x+y+2=0$与$x+y-3=0$间的距离等于(  )

    A. $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$    B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

    C.5$\sqrt{2}$     D.$\sqrt{2}$

重难点
  • 两条平行直线间的距离的另一种求法

    剖析:对于直线$l_{1} : A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0$,直线$l_{2} : A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0$.

    当直线$l_{1} \| l_{2}$时,它们的方程可以化为以下形式:直线$l_{1} : A x+B y+D_{1}=0$,直线$l_{2} : A x+B y+D_{2}=0$.

    在直线l1上任取一点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

    则有$l_{1} : A x_{0}+B y_{0}+D_{1}=0$,

    即$A x_{0}+B y_{0}=-D_{1}$.

    所以点$P$到直线$l_{2}$的距离

    $d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+D_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\frac{\left|-D_{1}+D_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\frac{\left|D_{1}-D_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

    即直线$l_{1},l_{2}$间的距离$d=\frac{\left|D_{1}-D_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

    名师点拨

    1.使用两条平行直线间的距离公式的前提条件:

    (1)把直线方程化为直线的一般式方程;

    (2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.

    2.当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数形结合方法来解决.

    (1)两条直线都与x轴垂直时,$l_{1} : x=x_{1}, l_{2} : x=x_{2}$,则两条平行直线间的距离$d=\left|x_{2}-x_{1}\right|$;

    (2)两条直线都与y轴垂直时,$l_{1} : y=y_{1}, l_{2} : y=y_{2}$,则两条平行直线间的距离$d=\left|y_{2}-y_{1}\right|$。

例题解析
  • 题型一、求两条平行线间的距离

    【例1】 求两条平行直线$l_{1} : 3 x+4 y-5=0$和$l_{2} : 6 x+8 y-9=0$间的距离.

    反思

    求两条平行直线间的距离有两种思路:

    (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.


    (2)利用公式$d=\frac{\left|D_{1}-D_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$求解,其中

    $l_{1} : A x+B y+D_{1}=0, l_{2} : A x+B y+D_{2}=0$

    【变式训练1】 求两条平行直线$l_{1} : 3 x+4 y=10$和$l_{2} : 3 x+4 y=15$间的距离.

  • 题型二、两条平行直线间的距离公式的应用

    【例2】 平行于直线$x-\sqrt{3} y=0$,且与其距离为3的直线$l$的方程是_________。

    反思 

    求平行于直线$A x+B y+C=0$的直线方程时,常设为$A x+B v+m=0(m \neq C)$,利用待定系数法来解决.有关平行直线间的距离问题,常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决.

    【变式训练2】 到直线2x+y+1=0的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$的点的集合为(    )


    A.直线2x+y-2=0

    B.直线2x+y=0

    C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0

    D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0

  • 题型三、易错辨析

    易错点:利用两条平行直线间的距离公式求距离时,常忽略方程的系数而致错

    【例3】 求两条平行直线$l_{1} : 3 x+4 y+2=0, l_{2} : 12 x+16 y-8=0$之间的距离.

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