古典概型

时间:2019/9/9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解基本事件的定义,能写出一次试验所出现的基本事件.
2.理解古典概型的特征和计算公式,会判断古典概型.
3.会求古典概型的概率.
知识点
  • 1.基本事件

    (1)定义:一次试验中可能出现的每一个结果都称为一个基本事件.

    (2)特点:一是任何两个基本事件是互斥的;二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

    归纳总结
    一次试验中只能出现一种结果,即产生一个基本事件;所有基本事件的和事件是必然事件.

    【做一做1】 抛掷一枚质地均匀的骰子,下列不是基本事件的是(  )

    A.向上的点数是奇数  B.向上的点数是3

    C.向上的点数是4    D.向上的点数是6

  • 2.古典概型

    (1)定义:如果一个概率模型满足:

    ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

    ②每个基本事件出现的可能性相等.

    那么这样的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.

    (2)计算公式:对于古典概型,任何事件A的概率为

    image.png

    归纳总结
    如果一次试验中可能出现的结果有n(n为确定的数)个,而且所有结果出现的可能性相等,那么就是古典概型,并且每一个基本事件出现的概率都是$\frac{1}{n}$。

    【做一做2】 从1,2,3中任取两个数字,设取出的数字中含有3为事件A,则P(A)=_______. 

重难点
  • 计算古典概型中基本事件的总数

    剖析:计算古典概型中基本事件的总数时,通常利用枚举法.枚举法就是把所有的基本事件一一列举出来,再逐个数出.

    例如,如果把从四个球中任取两个看成一次试验,那么一次试验共有多少个基本事件?为了表述方便,对这四个球编号为1,2,3,4.把每次取出的两个球的号码写在一个括号内,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),所以共有6个基本事件.用数对来表示试验结果是非常重要的表示方法,这种表示方法要注意数对中的两个数是否有顺序限制.有时还可以用画直角坐标系、列表格、画树状图等来列举.

    知识拓展把从n个元素中任取出2个元素看成一次试验,如果这2个元素没有顺序,那么这次试验共有$\frac{n(n-1)}{2}$个基本事件;如果这2个元素有顺序,那么这次试验共有$n(n-1)$个基本事件.可以作为结论记住(不要求证明),在选择题或填空题中直接应用.

例题解析
  • 题型一、判断古典概型

    【例1】 (1)袋中有除颜色外其他均相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号.从中摸出一个球,有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件,是否为古典概型?

    (2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落的位置看作一个基本事件,是否为古典概型?

    分析:确定各概率模型是否满足古典概型的特点.

    反思

    依据古典概型的有限性和等可能性来判断,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型.

    【变式训练1】 下列试验中是古典概型的是(  )

    A.种下一粒种子,观察它是否发芽

    B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意抽一件,测量其直径d

    C.抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面向上或反面向上

    D.某人射击中靶或不中靶

  • 题型二、计算古典概型下的概率

    【例2】 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的 2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出 2个球.

    (1)写出所有不同的结果;

    (2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;

    (3)求至少摸出1个黑球的概率.

    分析:(1)可以利用初中学过的树状图写出;(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出;(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出.

    反思

    求古典概型概率的计算步骤是:

    (1)确定基本事件的总数n;

    (2)确定事件A包含的基本事件的个数m;

    (3)计算事件A的概率$P(A)=\frac{m}{n}$。

  • 【变式训练2】 某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人,初中部也推荐了1男2女三名候选人.若从6名同学中任选2人做代表.


    求:(1)选出的2名同学来自不同级部且性别相同的概率;

    (2)选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率.

  • 题型三、易错辨析

    易错点:对古典概型应用的条件理解不到位而致误

    【例3】 任意投掷两枚骰子,求“出现的点数之和为奇数”的概率.

    反思

    计算基本事件总数要准确.对于实际问题要认真读题,深入理解题意,计算基本事件总数要做到不重不漏,这是解决古典概型的关键.

    【变式训练3】 将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.用$(x, y)$表示一个基本事件.

    (1)请写出所有的基本事件;

    (2)求满足条件“$\frac{x}{y}$为整数”的事件的概率;

    (3)求满足条件“$x-y < 2$”的事件的概率.

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