高中数学网古典概型
2.理解古典概型的特征和计算公式,会判断古典概型.
3.会求古典概型的概率.
1.基本事件
(1)定义:一次试验中可能出现的每一个结果都称为一个基本事件.
(2)特点:一是任何两个基本事件是互斥的;二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
归纳总结
一次试验中只能出现一种结果,即产生一个基本事件;所有基本事件的和事件是必然事件.【做一做1】 抛掷一枚质地均匀的骰子,下列不是基本事件的是( )
A.向上的点数是奇数 B.向上的点数是3
C.向上的点数是4 D.向上的点数是6
2.古典概型
(1)定义:如果一个概率模型满足:
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个基本事件出现的可能性相等.
那么这样的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(2)计算公式:对于古典概型,任何事件A的概率为
归纳总结
如果一次试验中可能出现的结果有n(n为确定的数)个,而且所有结果出现的可能性相等,那么就是古典概型,并且每一个基本事件出现的概率都是$\frac{1}{n}$。【做一做2】 从1,2,3中任取两个数字,设取出的数字中含有3为事件A,则P(A)=_______.
计算古典概型中基本事件的总数
剖析:计算古典概型中基本事件的总数时,通常利用枚举法.枚举法就是把所有的基本事件一一列举出来,再逐个数出.
例如,如果把从四个球中任取两个看成一次试验,那么一次试验共有多少个基本事件?为了表述方便,对这四个球编号为1,2,3,4.把每次取出的两个球的号码写在一个括号内,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),所以共有6个基本事件.用数对来表示试验结果是非常重要的表示方法,这种表示方法要注意数对中的两个数是否有顺序限制.有时还可以用画直角坐标系、列表格、画树状图等来列举.
知识拓展把从n个元素中任取出2个元素看成一次试验,如果这2个元素没有顺序,那么这次试验共有$\frac{n(n-1)}{2}$个基本事件;如果这2个元素有顺序,那么这次试验共有$n(n-1)$个基本事件.可以作为结论记住(不要求证明),在选择题或填空题中直接应用.
题型一、判断古典概型
【例1】 (1)袋中有除颜色外其他均相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号.从中摸出一个球,有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件,是否为古典概型?
(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落的位置看作一个基本事件,是否为古典概型?
分析:确定各概率模型是否满足古典概型的特点.
反思
依据古典概型的有限性和等可能性来判断,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型.
【变式训练1】 下列试验中是古典概型的是( )
A.种下一粒种子,观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意抽一件,测量其直径d
C.抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面向上或反面向上
D.某人射击中靶或不中靶
题型二、计算古典概型下的概率
【例2】 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的 2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出 2个球.
(1)写出所有不同的结果;
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;
(3)求至少摸出1个黑球的概率.
分析:(1)可以利用初中学过的树状图写出;(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出;(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出.
反思
求古典概型概率的计算步骤是:
(1)确定基本事件的总数n;
(2)确定事件A包含的基本事件的个数m;
(3)计算事件A的概率$P(A)=\frac{m}{n}$。
【变式训练2】 某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人,初中部也推荐了1男2女三名候选人.若从6名同学中任选2人做代表.
求:(1)选出的2名同学来自不同级部且性别相同的概率;
(2)选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率.
题型三、易错辨析
易错点:对古典概型应用的条件理解不到位而致误
【例3】 任意投掷两枚骰子,求“出现的点数之和为奇数”的概率.
反思
计算基本事件总数要准确.对于实际问题要认真读题,深入理解题意,计算基本事件总数要做到不重不漏,这是解决古典概型的关键.
【变式训练3】 将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.用$(x, y)$表示一个基本事件.
(1)请写出所有的基本事件;
(2)求满足条件“$\frac{x}{y}$为整数”的事件的概率；
(3)求满足条件“$x-y < 2$”的事件的概率.
点击加群 