向量数乘运算及其几何意义

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.理解并掌握向量数乘的定义及其几何意义,会作向量ma+nb.
2.熟练掌握和运用向量数乘的运算律,会化简向量关系式,并能用已知向量表示未知向量.
3.掌握向量共线定理,会判定或证明两个向量共线.
知识点
  • 1.向量的数乘

    定义

    一般地,实数$\lambda$;与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作$\lambda a$

    长度

    $|\lambda \mathbf{a}|=|\lambda||\mathbf{a}|$

    方向

    $\lambda>0$

    $\lambda a$的方向与a的方向相同

    $\lambda=0$

    $\lambda \mathbf{a}=\mathbf{0}$

    $\lambda < 0$

    $\lambda a$的方向与a的方向相反

    名师点拨

    1.实数与向量可以进行数乘运算,其结果是一个向量,不是实数;但实数与向量不能进行加减运算,如$\lambda+\mathbf{a}, \lambda-\mathbf{a}$是错误的.

    2.对于任意非零向量a,向量 $\frac{a}{|a|}$是与向量a同向的单位向量.向量$-\frac{a}{|a|}$ 是与向量a方向相反的单位向量.

    3.$\lambda a$的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小到原来的$|\lambda|$倍.

    【做一做1】 已知非零向量a,b满足a=4b,则(  )

    A.|a|=|b|    B.4|a|=|b|

    C.a与b的方向相同    D.a与b的方向相反

    解析:$\because \mathbf{a}=4 \mathbf{b}, 4>0, \therefore|\mathbf{a}|=4|\mathbf{b}|$

    ∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同.

    答案:C

  • 2.向量数乘的运算律

    向量的数乘运算满足下列运算律:

    设λ,μ为实数,则

    (1)$\lambda(\mu \mathbf{a})=(\lambda \mu) \mathbf{a}$;

    (2)$(\lambda+\mu) \mathbf{a}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{a}$;

    (3)$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}$(分配律).

    特别地,我们有$(-\lambda) \mathbf{a}=-(\lambda \mathbf{a})=\lambda(-\mathbf{a}), \lambda(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}-\lambda \mathbf{b}$.

    知识拓展

    在$\triangle A B C$中,D是BC的中点,则有$\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$.

    【做一做2】 3(2a-4b)等于(  )

    A.5a+7b  B.5a-7b 

    C.6a+12b  D.6a-12b

    解析:原式=3×2a-3×4b=6a-12b.

    答案:D

  • 3.共线向量定理

    向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.

    归纳总结

    1.向量共线的条件:当向量a=0时,a与任一向量b共线;当向量a≠0时,对于向量b,如果有一个实数λ,使b=λa,则由实数与向量的积的定义知b与a共线.

    反之,已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍,即|b|=λ|a|,则当b与a同方向时b=λa,当b与a反方向时b=-λa.

    2.若$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}(\mathbf{a} \neq \mathbf{0})$,则$|\lambda|=\frac{|b|}{|a|}$.

    3.如果非零向量a与b不共线,且$\lambda \mathbf{a}=\mu \mathbf{b}$,那么$\lambda=\mu=0$.

    知识拓展

    已知三点A,B,C共线,O是平面内任意一点,则有$\overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+m \overrightarrow{O B}$,其中$\lambda+m=1$.

    【做一做3】 已知P是线段MN的中点,则有(  )

    A.$\overrightarrow{M N}=2 \overrightarrow{N P}$      B.$\overrightarrow{M P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{M N}$

    C.$\overrightarrow{P N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{N M}$     D.$\overrightarrow{M P}=\overrightarrow{N P}$

    image.png

    解析:如图,$\overrightarrow{M N}=-2 \overrightarrow{N P}, \overrightarrow{P N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}=\overrightarrow{P N}$,则选项A,C,D不正确,很明显$\overrightarrow{M P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{M N}$,则选项B正确.

    答案:B

  • 4.向量的线性运算

    向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有$\lambda\left(\mu_{1} \mathbf{a} \pm \mu_{2} \mathbf{b}\right)=\lambda \mu_{1} \mathbf{a} \pm \lambda \mu_{2} \mathbf{b}$.

    归纳总结

    向量$\lambda\left(\mu_{1} \mathbf{a}+\mu_{2} \mathbf{b}\right)$可以用平行四边形法则作出,如$\overrightarrow{O E}=\lambda\left(\mu_{1} \mathbf{a}+\mu_{2} \mathbf{b}\right)$。

    image.png

    【做一做4】 在?ABCD中,$\overrightarrow{A B}=2 \mathbf{a}, \overrightarrow{A D}=3 \mathbf{b}$,则$\overrightarrow{A C}$等于  

    (  )

    A.a+b       B.a-b

    C.2a+3b       D.2a-3b

    解析:$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=2 \mathbf{a}+3 \mathbf{b}$.

    答案:C

重难点
  • 共线向量定理的应用

    剖析:共线向量定理可以分为两个定理:

    判定定理:如果存在一个实数λ满足$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}(\mathbf{a} \neq \mathbf{0})$,那么$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$.

    性质定理:如果$\mathbf{a} / / \mathbf{b}, \mathbf{a} \neq \mathbf{0}$,那么存在唯一一个实数λ,使得$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$.

    (1)判定定理的结论是$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$,则用共线向量定理可以证明两个向量共线.此时证明向量$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$,只需找到满足$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$或$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$的实数λ的值即可.


    (2)判定定理的结论是$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$,则当$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}$时,有O,A,B三点共线,即用共线向量定理可以证明三点共线.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.

    (3)判定定理的结论是$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$,当a和b所在的直线分别是直线m和n时,则有直线m,n平行或重合.即用共线向量定理可以证明两条直线平行.

    例如:如图,已知$\triangle A B C$中,D,E分别是边AB,AC上的点,并且$A D=x A B, A E=x A C, 0 < x < 1$.

    求证:$D E / / B C$,且$D E=x B C$.

    1558090990154169.png


    (4)性质定理的结论是$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$,则有$|\mathbf{b}|=|\lambda| \cdot|\mathbf{a}|$,当$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}$时,$|\overrightarrow{O B}|=|\lambda| \cdot|\overrightarrow{O A}|$,从而$O B=|\lambda| O A$.即用共线向量定理可以证明两条平行线段间的长度关系.

    例如:在平行四边形OACB中,$B D=\frac{1}{3} B C$,OD与BA相交于E.求证:$B E=\frac{1}{4} B A$.


    证明:

    image.png

    如图,∵向量$\overrightarrow{B E}$与$\overrightarrow{B A}$共线,∴设$\overrightarrow{B E}=\lambda \overrightarrow{B A}$

    设$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}$,则$\overrightarrow{B D}=\frac{1}{3} \mathbf{a}$,

    $\overrightarrow{O D}=\mathbf{b}+\frac{1}{3} \mathbf{a}$.

    $\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B E} \\ =\mathbf{b}+\lambda \overrightarrow{B A}=\mathbf{b}+\lambda(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}+(1-\lambda) \mathbf{b}$。

    ∵向量$\overrightarrow{O E}$与$\overrightarrow{O D}$共线,∴设$\overrightarrow{O E}=\mu \overrightarrow{O D}$,

    即$\lambda \mathbf{a}+(1-\lambda) \mathbf{b}=\mu\left(\frac{1}{3} a+b\right)=\frac{1}{3} \mu \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}$.

    ∵a与b不共线,

    $\therefore \left\{\begin{array}{l}{\lambda=\frac{1}{3} \mu} \\ {1-\lambda=\mu}\end{array}\right.$解得$\lambda=\frac{1}{4}$.

    $\therefore \overrightarrow{B E}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B A}, \therefore B E=\frac{1}{4} B A$

    由此可见,证明两条平行线段的长度关系可转化为证明向量共线.

例题解析
  • 题型一、化简向量关系式

    【例1】 计算:

    (1)$3(6 \mathbf{a}+\mathbf{b})-9\left(a+\frac{1}{3} b\right)$;

    (2)$\frac{1}{2}\left[(3 a+2 b)-\left(a+\frac{1}{2} b\right)\right]-2\left(\frac{1}{2} a+\frac{3}{8} b\right)$;

    (3)$2(5 a-4 b+c)-3(a-3 b+c)-7 a$.

    分析:综合运用实数与向量的运算律解题.

    反思

    向量的数乘运算类似于代数式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.

    【变式训练1】 计算下列各式:

    (1)$4(\mathbf{a}+\mathbf{b})-3(\mathbf{a}-\mathbf{b})$;

    (2)$3(a-2 b+c)-(2 a+b-3 c)$;

    (3)$\frac{2}{5}(\mathbf{a}-\mathbf{b})-\frac{1}{3}(2 \mathbf{a}+4 \mathbf{b})+\frac{2}{15}(2 \mathbf{a}+13 \mathbf{b})$.

  • 题型二、用已知向量表示未知向量

    【例2】 已知在$\square A B C D$中,M,N分别是DC,BC的中点.若$\overrightarrow{A M}=\mathbf{e}_{1}, \overrightarrow{A N}=\mathbf{e}_{2}$,试用e1,e2表示$\overrightarrow{D B}, \overrightarrow{A O}$

    image.png

    反思

    用已知向量表示未知向量时,通常要结合图形的特点,把未知向量放到三角形或平行四边形中,适当选择向量的加法、减法和数乘运算来求解.有时可借助于共线向量来解决(如本题求$\overrightarrow{D B}$).

    【变式训练2】 (1)点C在线段AB上,且$\overrightarrow{A C}=\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}$,则$\overrightarrow{A C}$等于(  )

    A.$\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$     B.$\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$

    C.$-\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$    D.$-\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$

    (2)在$\square A B C D$中,$\overrightarrow{A C}=\mathbf{m}, \overrightarrow{B D}=\mathbf{n}$,试用m,n表示$\overrightarrow{A B}$和$\overrightarrow{A D}$

  • 题型三、已知向量a,b,求作向量ma+nb

    image.png

    【例3】 已知向量a,b,如图,求作向量2a-3b.

    分析:分别作出有相同起点的向量2a与3b,利用三角形法则作出向量2a-3b.

    反思

    已知a,b,求作向量ma+nb时,先作出向量ma与nb,再借助三角形法则或平行四边形法则作出ma+nb.

    【变式训练3】

    image.png

    已知向量a和向量b,求作向量:

    (1)$\frac{1}{2} \mathbf{b}-2 \mathbf{a}$;

    (2)$2 \mathbf{a}-\mathbf{b}$.

  • 题型四、共线问题

    【例4】 已知非零向量a,b不共线.

    (1)若$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \overrightarrow{B C}=2 \mathbf{a}+8 \mathbf{b}, \overrightarrow{C D}=3(\mathbf{a}-\mathbf{b})$,求证:A,B,D三点共线;

    (2)欲使ka+b和a+kb共线,试确定实数k的值.

    反思

    1.证明三点共线,往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所表示的向量共线,如本例题(1).

    2.已知向量$m a+n b$与$k \mathbf{a}+p \mathbf{b}$(a与b不共线)共线求参数的值的步骤:

    (1)设$m \mathbf{a}+n \mathbf{b}=\lambda(k \mathbf{a}+p \mathbf{b})$;

    (2)整理,得$m \mathbf{a}+n \mathbf{b}=\lambda k \mathbf{a}+\lambda p \mathbf{b}$,故$\left\{\begin{array}{l}{m=\lambda k} \\ {n=\lambda p}\end{array}\right.$

    (3)解方程组得参数的值,如本例题(2).

    【变式训练4】 设e1,e2是两个不共线的向量.若$\overrightarrow{A B}=2 \mathbf{e}_{1}+10 \mathbf{e}_{2}, \overrightarrow{B C}=-2 \mathbf{e}_{1}+8 \mathbf{e}_{2}, \\ \overrightarrow{C D}=3\left(\mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}\right)$
    求证:A,B,D三点共线.

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