二倍角的正弦、余弦、正切公式

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.
知识点
  • 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表

    三角函数

    公式

    简记

    正弦

    $\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha$

    $\mathbf{S}_{2 \alpha}$

    余弦

    $\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha$

    $=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha$

    $\mathrm{C}_{2 \alpha}$

    正切

    $\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}$

    $\mathrm{T}_{2 \alpha}$

    归纳总结

    对倍角公式的理解:

    倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,而且其他如4α是2α的二倍、α是 $\frac{\alpha}{2}$的二倍、3α是 $\frac{3 \alpha}{2}$ 的二倍等也都是适用的.

    【做一做1】 已知$\sin \alpha=\frac{3}{5}, \cos \alpha=\frac{4}{5}$,则$\sin 2 \alpha$等于 (  )

    A.$\frac{7}{5}$     B.$\frac{12}{5}$     C.$\frac{12}{25}$     D.$\frac{24}{25}$

    解析:$\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{24}{25}$.

    答案:D

    【做一做2】 已知$\cos \alpha=\frac{1}{3}$,则$\cos 2 \alpha$等于(  )

    A.$\frac{1}{3}$     B.$\frac{2}{3}$     C.$-\frac{7}{9}$     D.$\frac{7}{9}$

    解析:$\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$.

    答案:C

    【做一做3】 已知tan α=3,则tan 2α等于(  )

    A.6     B.$-\frac{3}{4}$     C.$-\frac{3}{8}$     D.$\frac{9}{8}$

    解析:$\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}=\frac{2 \times 3}{1-3^{2}}=-\frac{3}{4}$.

    答案:B

重难点
  • 二倍角公式的变形公式

    剖析:

    (1)公式的逆用:

    $2 \sin \alpha \cos \alpha=\sin 2 \alpha ; \quad \sin \alpha \cos \alpha \\ =\frac{1}{2} \sin 2 \alpha$;

    $\cos \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{2 \sin \alpha}$;

    $\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=\cos 2 \alpha$;

    $\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}=\tan 2 \alpha$


    (2)公式的有关变形:

    $1 \pm \sin 2 \alpha=\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha \\ =(\sin \alpha \pm \cos \alpha)^{2}$;

    $1+\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha ; \quad 1-\cos 2 \alpha=2 \sin ^{2} \alpha$。


    (3)升幂和降幂公式:

    升幂公式:$1+\sin \alpha=\left(\sin \frac{\alpha}{2}+\cos \frac{\alpha}{2}\right)^{2}$;

    $1-\sin \alpha=\left(\sin \frac{\alpha}{2}-\cos \frac{\alpha}{2}\right)^{2}$;

    $1+\cos \alpha=2 \cos 2 \frac{\alpha}{2} ; \quad 1-\cos \alpha=2 \sin 2 \frac{\alpha}{2}$.

    降幂公式:$\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} ; \sin 2 \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}$

例题解析
  • 题型一、利用二倍角公式求值

    【例1】 求下列各式的值:

    (1)$\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}$;

    (2)$\frac{1}{2}-\cos 2 \frac{\pi}{8}$;

    (3)$\tan \frac{\pi}{12}-\frac{1}{\tan \frac{\pi}{12}}$.

    反思

    解决此类题目时,应善于观察三角函数式的特点,变形后正用或逆用公式来解决.本题中,若要求出$\cos \frac{\pi}{5}, \cos \frac{2 \pi}{5}, \cos \frac{\pi}{8}, \tan \frac{\pi}{12}$的值,则会使问题复杂化.

    【变式训练1】 求下列各式的值:

    (1)$\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$;

    (2)$1-2 \sin ^{2} 750^{\circ}$;

    (3)$\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}$.

  • 题型二、知值求值

    【例2】 已知$\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{5}{13}, 0 < x<\frac{\pi}{4}$,求 $\frac{\cos 2 x}{\cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}$ 的值.

    反思

    已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求的和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.

    【变式训练2】 

    (1)已知$\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}$,且α是锐角,则$\sin \left(2 \alpha-\frac{\pi}{3}\right)=$__________,$\cos \left(2 \alpha-\frac{\pi}{3}\right)=$__________,$\tan \left(2 \alpha-\frac{\pi}{3}\right)=$__________; 

    (2)若$\sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{3}{5}\left(0<\theta<\frac{\pi}{4}\right)$,则$\cos 2 \theta=$__________. 

  • 题型三、化简与证明

    【例3】 化简:

    (1)$\frac{\cos 10^{\circ}\left(1+\sqrt{3} \tan 10^{\circ}\right)}{\cos 70^{\circ} \sqrt{1+\cos 40^{\circ}}}$;

    (2)$\frac{2 \cos ^{2} \alpha-1}{2 \tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}$。

    反思

    化简三角函数式与证明三角恒等式的实质是一样的,那就是化繁为简,在解答这类问题时可从三个方面考虑:一是角,二是函数名,三是结构式,从而消除差异,达到化简的目的.

    【变式训练3】 

    (1)化简 $\frac{2 \sin 2 \alpha \cos ^{2} \alpha}{(1+\cos 2 \alpha) \cos \alpha}=$_______. 

    (2)求证:$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}  =\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

  • 题型四、易错辨析

    易错点 忽略角的范围致错

    【例4】 化简$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos \alpha}}}(3 \pi<\alpha < 4 \pi)$.

    反思

    利用二倍角公式化简$\sqrt{1 \pm \cos \alpha}$时,由于$1+\cos \alpha=2 \cos 2 \frac{\alpha}{2}, 1-\cos \alpha=2 \sin 2 \frac{\alpha}{2}$,则$\sqrt{1+\cos \alpha}=\sqrt{2}\left|\cos \frac{\alpha}{2}\right|,  \\ \sqrt{1-\cos \alpha}=\sqrt{2}\left|\sin \frac{\alpha}{2}\right|$
    ,因此要根据 $\frac{\alpha}{2}$ 所在象限确定$\sin \frac{\alpha}{2}, \cos \frac{\alpha}{2}$ 的符号,从而去掉绝对值符号.

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