全称量词与存在量词

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.理解全称量词与存在量词的意义,熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.
知识点
  • 1.概念

    短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“$\forall$”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“$\exists$”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.

    【做一做1】 下列命题中含有全称量词的是(  )

    A.至少有一个自然数是2的倍数

    B.存在小于零的整数

    C.有些整数是负数

    D.若$a \perp \alpha$,则直线$a$垂直于平面$α$内的任一直线

    答案:$D$

  • 2.全称命题“对M中任意一个$x$,有$p(x)$成立”可用符号$\forall x \in M, p(x)$表示,读作“对任意$x$属于$M$,有$p(x)$成立”.

    特称命题“存在M中的一个$x_{0}$,使$p\left(x_{0}\right)$成立”,可用符号$\exists x_{0} \in M, p\left(x_{0}\right)$表示,读作“存在一个$\mathcal{X}_{0}$属于M,使$p\left(x_{0}\right)$成立”.

    归纳总结 全称命题中的全称量词表明给定范围内的所有对象都具有某一性质,无一例外;而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外,两者正好构成相反意义的表述.

    【做一做2】 下列语句是特称命题的是(  )

    A.整数$n$是2和7的倍数

    B.存在整数$n$,使$n$能被11整除

    C.$x>7$

    D.$\forall x \in M, p(x)$成立

    解析:$B$选项中有存在量词“存在”,故$B$项是特称命题,选项$A$和选项$C$不是命题,选项$D$是全称命题.

    答案:$B$

  • 3.含有一个量词的命题的否定

    (1)全称命题:$p : \forall x \in M_{\cdot} p(x)$,它的否定$\square \square p : \exists x_{0} \in M , \square \square p\left(x_{0}\right)$,是特称命题;

    (2)特称命题$p : \exists x_{0} \in M_{ .} p\left(x_{0}\right)$,它的否定$\square \square p : \forall x \in M, \square \square p(x)$,是全称命题.

    【做一做3-1】 “至多有三个”的否定为(  )

    A.至少有三个  B.至少有四个

    C.有三个    D.有四个

    答案:B

    【做一做3-2】 已知命题$p : \forall x \in \mathbf{R}, \sin x \leq 1$,则$\square \square p$是________________. 

    答案:$\exists x_{0} \in \mathbf{R}, \sin x_{0}>1$

重难点
  • 1.全称命题与特称命题的辨析

    剖析判定一个命题是全称命题还是特称命题时,主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词.要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词,这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断.如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.

  • 2.全称命题与特称命题的真假

    剖析要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合$M$中的每一个元素$x$验证$p(x)$成立;但要判定一个全称命题是假命题,却只需找出集合$M$中的一个$x_{0}$,使得$p\left(x_{0}\right)$不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”).要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合$M$中,至少能找到一个$x_{0}$,使得$p\left(x_{0}\right)$成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.

  • 3.含有一个量词的命题的否定

    剖析全称命题和特称命题的否定,其模式是固定的,即把相应的全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词,再对$p(x)$进行否定.熟练地掌握下列常用词语的否定,对写出含有一个量词的命题的否定有很大帮助.

    原词语

    否定词语

     

    原词语

    否定词语

    不是

    至少有一个

    一个也没有

    都是

    不都是

    至多有一个

    至少有两个

    大于

    不大于

    至少有$n$个

    至多有$(n-1)$个

    小于

    不小于

    至多有$n$个

    至少有$(n+1)$个

    任意的

    某个

    $p$或$q$

    $\square p$且$\square q$

    所有的

    某些

    $p$且$q$

    $\square p$或$\square q$

    归纳总结
    1.对于省略了全称量词的全称命题的否定,一般先改写为含有全称量词的命题,再写出其否定.

    2.实际应用中,若从正面证明全称命题“$\forall x \in M, p(x)$”不容易,可证明其反面“$\exists x_{0} \in M , \square \square p\left(x_{0}\right)$”是假命题,反之亦然.

例题解析
  • 题型一 全称命题与特称命题的辨析

    【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题:

    (1)负数没有对数;

    (2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;

    (3)$\forall x \in$,$x^{2}$是无理数;

    (4)$\exists x_{0} \in\{x | x \in \mathbf{Z}\}, \log _{2} x_{0}>0$

    分析(1)虽然表面上看并不含量词,但从意义上来理解却含有“全部”“所有的”这样的意思;(2)(3)(4)明显含有量词.

    【变式训练1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用“$\forall$”或“$\exists$”符号表示该命题.

    (1)不等式$x^{2}+x+1>0$恒成立;

    (2)当x为有理数时,$\frac{1}{3} x 2+\frac{1}{2} x+1$也是有理数;

    (3)等式$\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha+\sin \beta$对有些角$\alpha, \beta$成立;

    (4)方程$3 x-2 y=10$有整数解.

  • 题型二 判断全称命题与特称命题的真假

    【例2】 指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假.

    (1)$\forall x \in \mathbf{N}, 2 x+1$是奇数;

    (2)存在一个$x_{0} \in \mathbf{R}$,使$\frac{1}{x_{0}-1}=0$;

    (3)存在一组$m, n$的值,使$\operatorname{m}-n=1$;

    (4)至少有一个集合$A$,满足A blob.png{1,2,3}.

    反思

    要判定一个全称命题是真命题,需要对限定集合中每一个元素都验证其成立;但要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合中找到一个元素成立即可.

    【变式训练2】 已知命题:

    $p_{1} : \forall a>1$,函数$y=a^{x}-a^{-x}$在R上为增函数,

    $p_{2} : \forall a>1$,函数$y=a^{x}+a^{x}$在R上为减函数,

    则在命题$q_{1} : p_{1} \vee p_{2}, q_{2} : p_{1} \wedge p_{2}$,$q_{3} :($         $p_{1} ) \vee p_{2}$和$q_{4} \cdot p_{1} \wedge$(        $p_{2}$)中,真命题是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} . q_{1}, q_{3}} & {\mathrm{B} . q_{2}, q_{3}} \\ {\mathrm{C} \cdot q_{1}, q_{4}} & {\mathrm{D} . q_{2}, q_{4}}\end{array}$

  • 题型三 对含有一个量词的命题的否定

    【例3】 写出下列命题的否定,并判断其真假:

    (1)有些质数是奇数;

    (2)所有二次函数的图象都开口向上;

    (3)$\exists x_{0} \in \mathbf{Q}, x_{0}^{2}=5$;

    (4)不论$m$取何实数,方程$x^{2}+2 x-m=0$都有实数根.

    分析先判断命题是全称命题还是特称命题,再写出它的否定.

    反思

    含有一个量词的命题的否定中,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.注意有些原命题无关键量词,但隐含着其含义,要注意辨析.

    【变式训练3】 写出下列命题的否定,并判断其真假:

    (1)$p$:一切分数都是有理数;

    (2)$q$:若直线l垂直于平面α,则对任意$l^{\prime} \subset \alpha, l \perp l^{\prime}$;

    (3)$p : \exists x_{0} \in \mathbf{R}, x_{0}^{2}+2 x 0+2 \leq 0$;

    (4)$p$:有的三角形是等边三角形.

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