曲线与方程

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.了解曲线与方程的对应关系,理解曲线的方程、方程的曲线的概念.
2.了解解析几何研究的主要问题,掌握求曲线的方程的方法与步骤.
知识点
  • 1.曲线的方程与方程的曲线

    在直角坐标系中,如果某曲线$C$(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程$f(x, y)=0$的实数解建立了如下的关系:

    (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;

    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

    那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.

    名师点拨

    如果曲线C的方程是$f(x, y)=0$,那么点$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$在曲线C上的充要条件是$f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$.

    【做一做1】 已知圆$C :(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4$及直线$l : x+2 y-2=0$,则点$M(4,-1)(\qquad)$

    A.不在圆$C$上,但在直线$l$上$B$.在圆$C$上,但不在直线$l$上

    C.既在圆$C$上,也在直线$l$上$D$.既不在圆$C$上,也不在直线$l$上

    答案:C

  • 2.解析几何所研究的主要问题

    (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程.

    (2)通过曲线的方程,研究曲线的性质.

    【做一做2】 曲线$x^{2}-x y-y^{2}-3 x+4 y-4=0$与x轴的交点坐标是_________. 

    解析:由题意知y=0,则$x^{2}-3 x-4=0$,解得$x_{1}=4, x_{2}=-1$.

    故交点坐标为$(4,0),(-1,0)$.

    答案:$(4,0),(-1,0)$

  • 3.求曲线方程的一般步骤

    (1)建立适当的平面直角坐标系,用有序实数对$(x, y)$表示曲线上任意一点$M$的坐标;

    (2)写出适合条件$p$的点M的集合$P=\{M | p(M)\}$;

    (3)用坐标表示条件$p(M)$,列出方程$f(x, y)=0$;

    (4)化方程$f(x, y)=0$为最简形式;

    (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

    【做一做3】已知动点$P$到点$(1,-2)$的距离为3,则动点$P$的轨迹方程是(  )

    A. $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9   \\ \mathrm{B} \cdot(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9$

    C. $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=3 \\  \mathrm {D} \cdot(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=3$

    解析:到点$(1,-2)$的距离为3,根据圆的定义可知,轨迹为以$(1,-2)$为圆心,以3为半径的圆.

    答案:B

重难点
  • 1.对曲线与方程的定义的理解

    剖析:(1)定义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性).

    (2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,阐明符合条件的以方程的解为坐标的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性).

    (3)定义的实质是平面曲线的点集$\{M | p(M)\}$和方程$f(x, y)=0$的解集$\{(x, y) | f(x, y)=0\}$之间的一一对应关系.由曲线和方程的这一对应关系,既可以求出曲线的方程,又可以通过方程研究曲线的性质.

  • 2.求曲线方程的常用方法

    剖析:(1)直接法:建立适当的平面直角坐标系后,设动点坐标为$(x,y)$,根据几何条件寻求$x,y$之间的关系式.

    (2)定义法:若所给几何条件正好符合圆等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.

    (3)相关点法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,用所求动点的坐标$(x,y)$来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得动点坐标$(x,y)$所满足的关系式,从而确定曲线方程.

例题解析
  • 曲线的方程与方程的曲线的概念辨析

    【例1】已知设方程$f(x, y)=0$的解集非空,若命题“坐标满足方程$f(x,y)=0$的点都在曲线$C$上”是不正确的,则下列命题正确的是(  )

    A.坐标满足方程$f(x,y)=0$的点都不在曲线$C$上

    B.曲线$C$上的点的坐标都不满足方程$f(x,y)=0$

    C.坐标满足方程$f(x,y)=0$的点有些在曲线$C$上,有些不在曲线$C$上

    D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足方程$f(x,y)=0$

    反思
    本题一是要正确理解“不都在”的含义,二是要把握曲线与方程的关系.

    【变式训练1】 判断下列命题的正误,并说明理由:

    (1)过点$A(2,0)$且平行于y轴的直线l的方程为$|x|=2$;

    (2)到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是$y=x$.

  • 求曲线的方程

    【例2】 已知圆$C : x^{2}+(y-3)^{2}=9$,过原点作圆$C$的弦$OP$,求$OP$的中点$Q$的轨迹方程.

    分析:解答本题可用三种方法:直接法,定义法,代入法.在解题过程中,应注意自变量的取值范围.

    反思
    求曲线的方程的常用方法有三种:一是直接法;二是定义法;三是相关点法(又称为代入法).在解题时,我们可以根据题目的不同特点选择最合适的方法.求曲线方程的过程中要特别注意题目中隐含的限制条件.

    【变式训练2】 已知一曲线是到两个点$O(0,0), A(3,0)$距离之比为$1 : 2$的点的轨迹,求这条曲线的方程.

  • 易错辨析

    易错点 忽视斜率存在的前提致错

    【例3】 设$A,B$两点的坐标分别是$(-a, 0),(a, 0)$,若动点M满足$k_{M A} \cdot k_{M B}=-1$,求动点$M$的轨迹方程.

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