双曲线的简单几何性质

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质.
2.能解决一些简单的双曲线问题.
3.能区别椭圆与双曲线的性质.
知识点
  • 1.双曲线的简单几何性质

    焦点的位置

    焦点在x轴上

    焦点在y轴上

    图形

    blob.png

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    标准方程

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} \\ =1(a>0, b>0)$

    $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} \\ =1(a>0, b>0)$

    范围

    $x \leqslant-a$或$x \geq a$

    $y \leqslant-a$$y \geqslant a$

    顶点

    $( \pm a, 0)$

    $(0, \pm a)$

    轴长

    虚轴长$=2 b$,实轴长$=2 a$

    焦点

    $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$

    $F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$

    焦距

    $\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c$

    对称性

    对称轴为x,y,对称中心为原点(0,0)

    离心率

    $e=\frac{c}{2}(e>1)$

    渐近线

    $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}} \pm \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}=0$
    (或$y=\pm \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} x )$

    $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}} \pm \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{b}}=0$
    或$\mathrm{y}=\pm \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} \mathrm{x} )$

    名师点拨

    离心率$e=\frac{c}{a}>1$,离心率越大,$\frac{b}{a}=\sqrt{e^{2}-1}$ 就越大,双曲线“张口”越大.

    【做一做1-1】 中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是(  )

    A. $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$

    B. $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$或$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{9}=1$

    C. $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{36}=1$

    D. $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{36}=1$或$\frac{y^{2}}{100}-\frac{x^{2}}{36}=1$

    答案:B 

    【做一做1-2】 双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的渐近线方程是 (  )

    $\mathrm{A} \cdot y=\pm \frac{2}{3} x \mathrm{B} \cdot y=\pm \frac{4}{9} x$

    $\mathrm{C} \cdot y=\pm \frac{3}{2} x \mathrm{D} \cdot y=\pm \frac{9}{4} x$

    解析:令$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=0$,得$y=\pm \frac{3}{2} x$.

    答案:C

    【做一做1-3】 下列双曲线中离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$的是(  )

    A. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1 \mathrm{B} \cdot \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$

    C. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}=1 \mathrm{D} \cdot \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{10}=1$

    解析:A中离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3} ; \mathrm{B}$中离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2} ; \mathrm{C}$中离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2} ; D$中离心率为$\frac{\sqrt{14}}{2}$.

    答案:$B$

  • 2.等轴双曲线

    实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,显然,它的渐近线方程为$y=\pm x$,离心率为$\sqrt{2}$,方程可表示为$x ^{2}-y ^{2}=\lambda(\lambda \neq 0)$.

    【做一做2】 已知双曲线$\frac{x^{2}}{n}-\frac{y^{2}}{12-n}=1$是等轴双曲线,则n=___________. 

    解析:$\because$双曲线$\frac{x^{2}}{n}-\frac{y^{2}}{12-n}=1$是等轴双曲线,

    $\therefore n=12-n, \dots n=6$.

    答案:6 

重难点
  • 有共同渐近线的双曲线系方程

    剖析:若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1(a>0, b>0)$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{\prime 2}}-\frac{y^{2}}{b^{\prime 2}}=\pm 1\left(a^{\prime}>0, b^{\prime}>0\right)$有相同的渐近线,即两条渐近线方程$\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0$与$\frac{x}{a^{\prime}} \pm \frac{y}{b^{\prime}}=0$分别重合,则必有$\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}=\frac{1}{k}(k>0)$,故$a^{\prime}=k a, b^{\prime}=k b$.

    反之,易求得双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$与$\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$有

    相同的渐近线$y=\pm \frac{b}{a} x$,故与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$有相同渐近线的双

    曲线系方程为$\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$.上述方程可简化为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$).因此在已知渐近线的方程的情况下,利用双曲线系方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$求双曲线方程较为方便.

例题解析
  • 求双曲线的标准方程

    【例1】 已知双曲线的渐近线方程为$2 x \pm 3 y=0$.

    (1)若双曲线过点$P(\sqrt{6}, 2)$,求双曲线的标准方程;

    (2)若双曲线的焦距是2$\sqrt{13}$,求双曲线的标准方程.

    反思
    双曲线的方程有两种设法,第一种方法是直接设出双曲线的标准方程,利用条件列出独立的关于$a, b, c$的等式,解方程组求出待定系数.第二种方法是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关于参数$\lambda$的关系式并确定$\lambda$,但应注意$\lambda$的符号与双曲线焦点位置的对应.

    【变式训练1】 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程:

    (1)双曲线过点$(3,9 \sqrt{2})$,离心率$e=\frac{\sqrt{10}}{3}$;

    (2)过点$P(2,-1)$,渐近线方程是$y=\pm 3 x$.

  • 求双曲线的简单几何性质

    【例2】 如图,已知$F_{1}, F_{2}$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦点,过$F _{2}$作垂直于$x$轴的直线交双曲线于点$P$,且$\angle P F_{1} F_{2}=30^{\circ}$,求双曲线的渐近线方程.

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    分析:由于$P F_{2} \perp x$轴,因而可先求得点$P$的纵坐标,即可知$\left|P F_{2}\right|$的值,再结合$\triangle P F_{1} F_{2}$为直角三角形及双曲线的定义,可求得$a,b$间的关系,就可求得渐近线的斜率.

    反思
    双曲线上一点$P$与两个焦点$F_{1}, F_{2}$连线形成的$\triangle P F_{1} F_{2}$是常遇到的一种图形,我们有时称之为“焦点三角形”,它往往把三角形的相关知识(如勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)与双曲线的相关知识相结合构造不同的问题.

    【变式训练2】 设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的虚轴长为2,焦距为2$\sqrt{3}$,则双曲线的渐近线方程为(  )

    $\mathrm{A} \cdot y=\pm \sqrt{2} x \mathrm{B} \cdot y=\pm 2 x$

    $\mathrm{C} \cdot y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} x \mathrm{D} \cdot y=\pm \frac{1}{2} x$

  • 求双曲线的离心率

    【例3】 求适合下列条件的双曲线的离心率:

    (1)双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{3}{2} x$;

    (2)双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0 < a < b)$的半焦距为$c$,直线l过$(a, 0),(0, b)$两点,且原点到直线$l$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4} c$.

    反思
    求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到$a, b, c$的关系式,再根据$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,直接求a,c的值.而在解题时常把 $\frac{c}{a}$ 或 $\frac{b}{a}$ 视为整体,把关系式转化为关于$\frac{c}{a}$或$\frac{b}{a}$的方程,解方程求之,从而得到离心率的值.在本题的(2)中,要注意条件$0 < a < b$对离心率的限制,以保证结果的准确性.

    【变式训练3】 已知点P为双曲线$C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$和圆$C_{2} : x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$的一个交点,且$2 \angle P F_{1} F_{2}=\angle P F_{2} F_{1}$,其中$F_{1}, F_{2}$为双曲线$C_{1}$的两个焦点,则双曲线$C_{1}$的离心率为(  )

    $\begin{array}{llll}{\text { A. } \sqrt{3}} & {\text { B. } 1+\sqrt{2}} & {\text { C. } \sqrt{3}+1} & {\text { D. } 2}\end{array}$

  • 易错辨析

    易错点 忽视斜率的多种情况而致错

    【例4】 求经过点$\left(\frac{1}{2}, 2\right)$且与双曲线$4 x 2-y 2=1$仅有一个公共点的直线方程.

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