离散型随机变量及其分布列

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.
2.能根据离散型随机变量的意义,求出某些简单的离散型随机变量的分布列.
3.通过实例,能对两点分布、超几何分布有所理解,理解其公式的推导过程,并能简单地运用.
知识点
  • 1.离散型随机变量

    (1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母$X, Y, \xi, \eta$…表示.

    (2)随机变量和函数都是一种映射,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.

    知识拓展

    随机变量与函数的关系

    相同点

    随机变量和函数都是一种映射

    区别

    随机变量是随机试验的结果到实数的映射,函数是实数到实数的映射

    联系

    随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域

    【做一做1】 下列随机变量中不是离散型随机变量的是 (  )

    A.盒子里有除颜色不同,其他完全相同的红球和白球各5个,从中摸出3个球,白球的个数X

    B.小明答20道选择题答对的道数X

    C.某人早晨在车站等出租车的时间X

    D.某人投篮10次投中的次数X

    解析:选项A,B,D中的随机变量X的所有取值可以一一列出,因此是离散型随机变量.选项C中随机变量X可以取一个区间内的一切值,但无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量.

    答案:C

  • 2.离散型随机变量的分布列

    (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{n}, X$,取每一个值$x_{i}(i=1,2, \ldots, n)$的概率$P\left(X=x_{i}\right)=p_{i}$,以表格的形式表示如下:

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    这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.

    用等式可表示为$P\left(X=x_{i}\right)=p_{i}, i=1,2, \ldots, n$,也可以用图象来表示$X$的分布列.

    (2)离散型随机变量的分布列的性质:

    ①$p_{i} \geq 0, i=1,2, \ldots, n$;

    ②$\sum_{i=1}^{n} p_{i}=1$.

    归纳总结

    离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机试验数量特征的基础.

    【做一做2-1】 已知随机变量$\xi$的分布列$P(\xi=k)=\frac{1}{2^{k}}, k=1,2,3, \ldots$,则$P(2<\xi \leq 4)$等于(  )

    A.$\frac{3}{16}$   B.$\frac{1}{4}$   C.$\frac{1}{16}$    D.$\frac{1}{5}$

    解析:$P(2<\xi \leq 4)=P(\xi=3)+P(\xi=4) \\ =\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}=\frac{3}{16}$.

    答案:A

    【做一做2-2】 随机变量X的分布列如下,则m等于(  )

    X

    1

    2

    3

    4

    P

    $\frac{1}{4}$

    m

    $\frac{1}{3}$

    $\frac{1}{6}$

    A.$\frac{1}{3}$     B.$\frac{1}{2}$     C.$\frac{1}{6}$     D.$\frac{1}{4}$

    解析:由$\frac{1}{4}+m+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$,得$m=\frac{1}{4}$.

    答案:D 

  • 3.两点分布与超几何分布

    (1)两点分布列为:

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    若随机变量X的分布列为两点分布列,则称X服从两点分布,并称$p=P(X=1)$为成功概率.

    (2)一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则$P(X=k)=\frac{C_{M}^{k} \mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}, k=0,1,2, \ldots, m$,其中$m=\min \{M, n\}$,且$n \leq N, M \leq N, n, M, N \in \mathbf{N}^{*}$,称分布列

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    为超几何分布列.若随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.

    【做一做3-1】 高二(1)班数学兴趣小组有12人,其中有5名“三好学生”,现从该小组中任意选6人参加数学竞赛,用X表示这6人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于$\frac{\mathrm{C}_{5}^{3} \mathrm{C}_{7}^{3}}{\mathrm{C}_{12}^{6}}$的是(  )

    A.P(X=2) B.P(X=3)

    C.P(X≤2) D.P(X≤3)

    解析:$C_{5}^{3}$表示从5名“三好学生”中选择3名,从而$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}_{5}^{3} \mathrm{C}_{7}^{3}}{\mathrm{C}_{12}^{6}}$.

    答案:B

    【做一做3-2】 在一次旅游目的地的投票选择中,令

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    如果选择安徽黄山的概率为0.6,请你写出随机变量X的分布列.

    分析本题考查的是两点分布,结合分布列的性质即可求解.

    解:根据分布列的性质,选择四川九寨沟的概率为1-0.6=0.4.

    则随机变量X的分布列为

    X

    0

    1

    P

    0.6

    0.4

重难点
  • 1.如何辨别一个变量是不是离散型随机变量

    剖析首先搞清离散型随机变量的含义,其次还要清楚除了离散型随机变量还有连续型随机变量,即如果随机变量可以取一个区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量.对离散型随机变量来说,它所取的值可以按一定次序一一列出.

    辨别的关键是搞清随机变量到底取什么样的值,是在一个连续区间上取值,还是所有取值可以一一列出.

  • 2.写离散型随机变量的分布列的步骤是什么

    剖析要写离散型随机变量的分布列,就要求出$P\left(X=x_{i}\right)(i=1,2, \ldots, n)$,而$P\left(X=x_{i}\right)=p_{i}$,要求基本事件的概率就要用到等可能性事件的概率、排列组合、加法原理、乘法原理等知识和方法.一个分布列写的是否正确,一是看随机变量的取值,二是根据分布列的两条性质来检验.


    求离散型随机变量的分布列的步骤:

    (1)找出随机变量所有可能的取值$x_{i}(i=1,2, \ldots, n)$;

    (2)求出对应取值的概率$P\left(X=x_{i}\right)=p_{i}$;

    (3)列出表格.

    对随机变量的取值要分清是有限的还是无限的,若是无限的,后面要用省略号表示.

    随机变量的分布列与函数类似,可以有不同的给出方式,除了列表格,还可以用等式来表示,也可以用图象来表示.因此,可以针对不同的变量选择恰当的表示方式.

例题解析
  • 题型一、离散型随机变量的判定

    【例1】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.

    (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被取出的卡片的号数X.

    (2)一个袋中装有大小相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数X.

    (3)某林场中的树木最高达30 m,则此林场中树木的高度X.

    反思

    离散型随机变量的特征:(1)可用数值表示;(2)试验之前可以判断其出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取何值;(4)试验结果能一一列出.

    【变式训练1】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.

    (1)某超市5月份每天的销售额ξ.

    (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ.

    (3)某长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ.

  • 题型二、离散型随机变量的分布列

    【例2】 袋中装有编号为1~6的同样大小的6个球,现从袋中随机取3个球,设ξ表示取出3个球中的最大号码,求ξ的分布列.

    分析确定随机变量ξ的所有可能取值,分别求出ξ取各值的概率.

    反思

    求离散型随机变量的分布列关键有两点:(1)随机变量的取值;(2)每一个取值所对应的概率.所求是否正确,可通过概率和是否为1来检验.

    【变式训练2】 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量X表示方程x2+bx+c=0的实根的个数(重根按一个计),求X的分布列.

  • 题型三、离散型随机变量的分布列的性质及应用

    【例3】 设随机变量$X$的分布列$P\left(X=\frac{k}{5}\right)=a k(k=1,2,3,4,5)$.

    (1)求常数$a$的值;

    (2)求$P\left(X \geq \frac{3}{5}\right)$;

    (3)求$P\left(\frac{1}{10} < X<\frac{7}{10}\right)$.

    反思

    1.离散型随机变量的特征是能一一列出,且每一个值各代表一个试验结果,所以研究随机变量时,关键是随机变量能取哪些值.

    2.在求概率pi时,充分运用分布列的性质,既可减少运算量,又可验证所求的分布列是否正确.

    3.一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

    【变式训练3】 若离散型随机变量X的分布列是

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    则常数c的值为__________.

  • 题型四、超几何分布的应用

    【例4】 某高二数学兴趣小组有7名同学,其中有4名同学参加过高一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选3名同学参加高二数学“南方杯”竞赛,求这3名同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的人数$\xi$的分布列及$P(\xi < 2)$.

    反思

    超几何分布是一种很重要的分布,其理论基础是古典概型,主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型,其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数.

    【变式训练4】 设10件产品中有3件次品,7件正品,现从中抽取5件,求抽得次品件数$\xi$的分布列.

  • 题型五、易错辨析

    易错点:对排列组合的概念理解不透而致错

    【例5】 有3名大学生要到四川、云南、贵州、甘肃四省中的任意一省工作.设到各省的大学生人数最多为X,求X的分布列.

    反思

    由本题可以看出,求离散型随机变量的分布列,必须要能正确地求出相应的事件个数,即正确地求出相应的排列组合数.掌握好排列组合知识,是学好分布列的基础与前提.

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