圆的切线的性质及判定定理

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解切线的性质定理及其两个推论,并能解决相关的计算或证明问题.
2.掌握切线的判定定理,会判定直线与圆相切.
知识点
  • 1.切线的性质定理

    文字语言

    圆的切线垂直于经过切点的半径

    符号语言

    直线$l$与圆$O$相切于点$A$,则$O A \perp l$

    图形语言

    blob.png

    作用

    证明两条直线垂直

    【做一做1】 如图,已知直线l与$\odot O$相切于点$A$,点$B$是$l$上异于点$A$的一点,则$\triangle O A B$是(  )

    blob.png

    A.等边三角形

    B.锐角三角形

    C.直角三角形

    D.钝角三角形

    解析:blob.png与$\odot O$相切,

    $\therefore l \perp O A . \therefore O A \perp A B$.

    $\therefore \angle O A B=90^{\circ}$,$\triangle O A B$是直角三角形.

    答案:C

  • 2.性质定理推论1

    文字语言

    经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

    符号语言

    直线$l$与圆$O$相切于点$A$,过$O$作直线$m \perp l$,则$A \in m$

    图形语言

    blob.png

    作用

    证明点在直线上

    【做一做2】 如图,直线$l$与$\odot O$相切,点$P$是$l$上任一点,当$O P \perp l$时,则(  )

    blob.png

    A.点$P$不在$\odot O$上

    B.点$P$在$\odot O$上

    C.点$P$不可能是切点

    D$.OP$大于$\odot O$的半径

    解析:由于$O P \perp l$,则$P$是$l$与$\odot O$的切点,则点P在$\odot O$上.

    答案:B

  • 3.性质定理推论2 

    文字语言

    经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

    符号语言

    若直线$l$与圆$O$相切于点$A$,过点$A$作直线$m \perp l$,则$O \in m$

    图形语言

    blob.png

    作用

    证明点在直线上

    归纳总结
    由性质定理及其两个推论,可得出如下的结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,(1)垂直于切线;(2)过切点;(3)过圆心,就可推出第三个.于是在利用切线的性质时,过切点的半径是常作的辅助线.

    【做一做3】 直线l与$\odot O$相切于点$P$,在经过点$P$的所有直线中,经过点$O$的直线有(  )

    A.1条  B.2条  C.3条  D.无数条

    解析:过$P$且垂直于$l$的直线仅有1条,此时点$O$在该垂线上,故选$A$.

    答案:A

  • 4.切线的判定定理

    文字语言

    经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

    符号语言

    若$OA$是圆$O$的半径,直线$l \perp O A$,且$A \in l$,则$l$是圆$O$的切线

    图形语言

    blob.png

    作用

    证明直线与圆相切

    名师点拨

    在切线的判定定理中,要分清定理的条件和结论,强调“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如图①②中的例子就不能同时满足这两个条件,所以都不是圆的切线.

     blob.png

    【做一做4】 如图,$AB$经过$\odot O$上一点$C$,且$O A=O B, A C=C B$.求证:直线$AB$是$\odot O$的切线.

    blob.png

    分析:转化为证明$O C \perp A B$即可.

    证明:如图,连接$OC$.

    blob.png

    $\because O A=O B$,

    $\therefore \triangle O A B$是等腰三角形.

    又$\because A C=C B$,$\therefore O C \perp A B$.

    又$\because O C$是$\odot O$的半径,

    $\therefore$直线$A B$是$\odot O$的切线.

重难点
  • 判定切线的方法

    剖析:判定切线通常有三种方法:(1)定义法:和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;(2)距离法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

    “经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化.在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法:若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证明这条直线与此半径垂直,即用定理法;若不能确定已知要证的切线与圆有公共点,则需先向这条直线作垂线,再证明此垂线段是圆的半径,即用距离法证明;通常不用定义法证明.

例题解析
  • 题型一 圆的切线性质的应用

    【例1】 如图,在$\triangle A B C$中,$A B=A C$,以$A B$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$,过点$D$作$\odot O$的切线交$AC$于点$E$.

    blob.png


    求证:$D E \perp A C$.

    分析:由$DE$是$\odot O$的切线,知$O D \perp D E$,故要证明$D E \perp A C$,只需要证明$O D / / A C$即可.

    反思

    利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时,连接圆心和切点的半径是常用辅助线.

    【变式训练1】 如图,已知$\angle C=90^{\circ}$,点$O$在$AC$上,$C D$为$\odot O$的直径,$\odot O$切$AB$于点E,若$B C=5, A C=12$,求$\odot O$的半径.

    blob.png

  • 题型二 判断或证明圆的切线

    【例2】 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$AE$平分$\angle B A F$交$\odot O$于点$E$,过$E$作直线与$AF$垂直,交$AF$的延长线于点$D$,且交$AB$的延长线于点$C$.求证:$C D$是$\odot O$的切线.

    blob.png

    分析:只需证明$O E \perp C D$即可.

    反思

    根据圆的切线性质判定圆的切线是平面几何中最常用的方法.这种方法的步骤是:①连接圆心和公共点;②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段.由此看出,证明圆的切线可转化为证明直线垂直.

    【变式训练2】 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$BC$是$\odot O$的切线,切点为$B,OC$平行于弦$AD$.求证:$DC$是$\odot O$的切线.

    blob.png

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