三个正数的算术-几何平均不等式

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
知识点
  • 1.三个正数的算术-几何平均不等式

    如果$a, b, c \in \mathbf{R}_{+}$,那么 $\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c}$,当且仅当$a=b=c$时,等号成立.

    【做一做1-1】 若$x>0$,则$4 x+\frac{9}{x^{2}}$ 4x+9/x^2 的最小值是(  )

    A.9   $\mathrm{B} .3 \sqrt{36}$           C.13                D.不存在

    解析:$\because x>0, \therefore 4 x+\frac{9}{x^{2}}=2 x+2 x+\frac{9}{x^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{36}$,当且仅当$2 x=\frac{9}{x^{2}}$,即$x=\frac{1}{2} \sqrt[3]{36}$时,等号成立.

    答案:B

    【做一做1-2】 若$\log _{x} y=-2$则$x+y$的最小值是(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{3}}{3} \quad$ C. $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

    解析:$\because \log _{x} y=-2$

    $\therefore x>0$ 且$x \neq 1, y>0$,且$y=x^{-2}$

    $\therefore x+y=x+x^{-2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \\ =\frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$ 当且仅当$\frac{x}{2}=\frac{1}{x^{2}}$,即$x=\sqrt[3]{2}$时,等号成立.

    答案:A

  • 2.n个正$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$的算术-几何平均不等式

    对于n个正数$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即$\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$,当且仅当$a 1=a 2=\cdots=a n$时,等号成立.

    归纳总结 从不等式的式子结构入手,拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点.

    【做一做2】 已$a, b, c>0$,则$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right) \geqslant$_________.

    解析:$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)$

    $=3+\frac{b c}{a^{2}}+\frac{a c}{b^{2}}+\frac{a b}{c^{2}}+\frac{a^{2}}{b c}+\frac{b^{2}}{c a}+\frac{c^{2}}{a b}$

    $\geqslant 3+6^{6} \sqrt{\frac{b c}{a^{2}} \cdot \frac{a c}{b^{2}} \cdot \frac{a b}{c^{2}} \cdot \frac{a^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{b^{2}}{c a} \cdot \frac{c^{2}}{a b}}=9$

    当且仅当$a=b=c$时,等号成立.

    答案:9

重难点
  • 1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件

    剖析:“一正”:不论是三个数或者n个数的算术-几何平均不等式,都要求是正数,否则不等式是不成立的.如$a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}$,取$a=b=-2, c=2$时,$a+b+c=-2$,而$3 \sqrt[3]{a b c}=6$,显然$-2 \geqslant 6$不成立.

    “二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$为定值),求其积$a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$的最大值;二是已知乘积$a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$为定值,求其和$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$的最小值.

    “三相等”:取等号的条件是$a_{1}=a_{2}=a_{3}=\cdots=a_{n}$,不能只是其中一部分相等.

    不等式$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$与$a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant 3 a b c$的运用条件不一样,前者要求$a, b \in \mathbf{R}$,后者要求$a, b, c \in \mathbf{R}_{+}$.要注意区别.

  • 2.灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法

    剖析:为了使用三个正数的算术-几何平均不等式求最值(或范围等),往往需要对数学代数式变形或拼凑,有时一个数拆成两个或两个以上的数,这时候,拆成的数要相等,如$y=\frac{4}{x^{4}}+x 2=\frac{4}{x^{4}}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}$,

    其中把$x^{2}$拆成$\frac{x^{2}}{2}$和$\frac{x^{2}}{2}$两个数,这样可满足不等式成立的条件,若变形为$y=\frac{4}{x^{4}}+x 2=\frac{4}{x^{4}}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{3 x^{2}}{4}$,虽然满足了乘积是定值这个要求,但“三相等”这个要求就无法实现了,这是因为取等号的条件是$\frac{4}{x^{4}}=\frac{x^{2}}{4}=\frac{3 x^{2}}{4}$,显然x无解.

例题解析
  • 题型一 应用三个正数的算术-几何平均不等式求函数的最值

    【例1】 已知$x>0$,求函数$y=x\left(1-x^{2}\right)$的最大值. 

    分析:为使数的“和”为定值,可以先平方,即$y^{2}=x^{2}\left(1-x^{2}\right)^{2}=x^{2}\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right) \\ =2 x^{2}\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}$,求出最值后再开方.

    反思 式子拼凑,以便能利用算术-几何平均不等式求最值,是必须掌握的一种解题方法,但拼凑要合理,且要符合适用的条件,对于本题,有的学生可能这样去拼凑:

    $y=x\left(1-x^{2}\right)=x(1-x)(1+x) \\ =\frac{1}{2} \cdot x(2-2 x) \cdot(1+x) \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{x+2-2 x+1+x}{3}\right)^{3} \\ =\frac{1}{2}$

    虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值,但忽略了取等号的条件,显然x=2-2x=1+x无解,即无法取等号,也就是说,这种拼凑法是不正确的.这就要求平时多积累一些拼凑方法,同时注意算术-几何平均不等式的使用条件,三个缺一不可.

    【变式训练1】 求函数$y=\frac{3}{16} x 2+\frac{3}{x}(x>0)$的最小值.

  • 题型二 应用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式

    【例2】 设$a, b, c>0$,求证:$(a+b+c) \cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geqslant 9$.

    分析:先观察求证式子的结构,再通过变形转化为用算术-几何平均不等式证明.

    反思

    三个正数的算术-几何平均不等式定理,是根据不等式的意义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正、二定、三相等”的条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.

    连续多次使用算术-几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致.

    【变式训练2】 已知$0 < a < 1$,求证:$\frac{1}{a}+\frac{4}{1-a} \geqslant 9$.

  • 题型三 应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题

    【例3】 如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角$\theta$的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,

    即$E=k \frac{\sin \theta}{r^{2}}$,这里$k$是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度$h$,才能使桌子边缘处最亮?

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    反思

    处理此类求最值的实际问题,应正确地找到各变量之间的关系,建立适当的函数解析式,把问题转化为求函数的最值问题,并将关系式配凑成可以用算术-几何平均不等式的形式,若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解.

    【变式训练3】 设圆锥的母线长为1,试问圆锥的底面半径为多少时,圆锥的体积最大? 

  • 题型四 易错辨析

    易错点 忽视等号成立的条件致错

    【例4】 求函数$y=x^{2}+\frac{3}{x}(x>0)$的最小值.

    反思 

    应用基本不等式求最值的易错点是忽视条件“一正、二定、三相等”,尤其易忽视等号成立的条件.

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