椭圆的几何性质

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.掌握椭圆的几何性质.
2.掌握椭圆中长半轴长,短半轴长,半焦距和离心率的几何意义以及它们之间的关系.
知识点
  • 焦点在$x$轴、$y$轴上的椭圆的几何性质与特征的比较:

    焦点的位置

    焦点在x轴上

    焦点在y轴上

    图形

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    标准

    方程

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>b>0)$

    $\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>b>0)$

    范围

    $-a \leq x \leqslant a, \\ -b \leqslant v \leqslant b$

    $-a \leq v \leqslant a, \\ -b \leq x \leq b$

    顶点

    $A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0)$

    $B_{1}(0,-b), B_{2}(0, b)$


    $A_{1}(0,-a), A_{2}(0, a)$

    $B_{1}(-b, 0), B_{2}(b, 0)$


    轴长

    长轴长为2$a$,短轴长为2$b$

     

    焦点的位置

    焦点在x轴上

    焦点在y轴上

    焦点

    $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$

    $F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$

    焦距

    2$c\left(c^{2}=a^{2}-b^{2}\right)$

    对称性

    对称轴为$x$轴,$y$轴,对称中心为原点

    离心率

    $e=\frac{c}{a} \in(0,1)$,其中$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

    名师点拨

    (1)判断曲线关于原点,x轴,y轴对称的方法.

    若把方程中的$x$换成$-x,y$换成$-y$,方程不变,则曲线关于原点对称.

    若把方程中的$y$换成$-y$,方程不变,则曲线关于$x$轴对称.

    若把方程中的$x$换成$-x$,方程不变,则曲线关于$y$轴对称.

    (2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点.

    【做一做1】 椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{36}=1$的长轴长为(  )

    A.5 B.3 C.6 D.12

    解析:由椭圆的方程可知长半轴长$a=6$,所以长轴长$2a=12$.

    答案:D

    【做一做2】 椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率为_________. 

    答案:$\frac{4}{5}$

重难点
  • 椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率.

    剖析(1)椭圆的半焦距$c$与长半轴长$a$的比,称作椭圆的离心率.记作$e=\frac{c}{a}$.

    (2)因为$a>c>0$,所以离心率$e$的取值范围是$0 < e < 1$.

    离心率的大小对椭圆形状的影响:

    ①当$e$趋近于1时,$c$趋近于$a$,从而$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}$越小,因此椭圆越扁平;

    ②当$$e趋近于0时,$c$趋近于0,从而$b$趋近于$a$,因此椭圆越接近于圆.

    椭圆与圆是两种不同的曲线,椭圆的离心率满足不等式$0 < e < 1$.当$e=0$时,曲线为圆.

例题解析
  • 利用椭圆的方程研究其几何性质

    【例1】 求椭圆$125 x^{2}+16 y^{2}=400$的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.

    分析:先把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素长半轴长$a$、短半轴长$b$和半焦距$c$,再求解.

    反思

    已知椭圆的方程讨论其性质时,应将方程化成标准形式,找准长半轴长$a$与短半轴长$b$,求出半焦距$c$,才能正确地解决与椭圆的性质有关的问题.

  • 利用椭圆的几何性质求它的方程

    【例2】 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且过点$(2,-6)$,求椭圆的标准方程.

    分析:因为不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上,所以需要分两种情况来讨论.

    反思在求椭圆的标准方程时,关键要分清焦点在哪个坐标轴上;当焦点不确定在哪个坐标轴上时,要分焦点在$x$轴上、$y$轴上两种情况讨论.

  • 求椭圆方程中的参数

    【例3】 已知方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>0, a \neq 1)$表示离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆,求a的值.

    分析因为不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上,所以需要分两种情况来讨论,再根据离心率为$\frac{1}{2}$即可求得.

    反思

    在求椭圆标准方程中的参数时,先要分清焦点在哪个坐标轴上,再根据椭圆的几何性质求解.注意本题所给方程中的$a$与椭圆标准方程中的$a$不同.

  • 真题

    1.椭圆$6 x^{2}+y^{2}=6$的长轴的端点坐标为(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A.}(-1,0),(1,0)} & {\mathrm{B.}(-6,0),(6,0)} \\ {\mathrm{C.}(-\sqrt{6}, 0),(\sqrt{6}, 0)} & {\mathrm{D.}(0,-\sqrt{6}),(0, \sqrt{6})}\end{array}$

    2.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为$\frac{1}{3}$,长轴长为12,则椭圆的标准方程是(  )

    A. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{6}=1 \quad$ B. $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}=1$

    $\mathrm{C} \cdot \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}=1$或$\frac{y^{2}}{36}+\frac{x^{2}}{32}=1$ $D \cdot \frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{36}=1$

    3.椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9}=1$有(  )

    A.相同的短轴          B.相同的长轴

    C.相同的离心率       D.以上都不正确

    4.已知椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率$e=\frac{\sqrt{10}}{5}$,则$m$的值为_________.

    5.已知椭圆的焦点在坐标轴上,且椭圆过点$(3,0)$,离心率$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$,求椭圆的标准方程.

    分析:应用待定系数法,列出方程组求解.

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