“非”(否定)

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.了解逻辑联结词“非”的含义.
2.会对含有量词的命题进行否定.
知识点
  • 1.“非”的含义

    逻辑联结词“非”(也称为“否定”)的意义是由日常语言中的

    “不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来.

    【做一做1】 下列词语与“非”的含义不同的是(  )

    A.是              B.不是

    C.全盘否定    D.问题的反面

    答案:A

  • 2.命题p的否定(非p)

    一般地,对命题p加以否定,就得到一个新命题,记作blob.pngp,读作

  • “非p”或“p的否定”.

    一般把如何由p的真假判定blob.pngp的真假总结为下表:

    表Ⅲ

    p

    blob.pngp

    名师点拨

    (1)p的否定是blob.pngp,blob.pngp的否定是p,即p与blob.pngp是相互否定的.(2)命题“p且q”的否定是“blob.pngp或blob.pngq”;命题“p或q”的否定是“blob.pngp且blob.pngq”.

    【做一做2】 已知命题p:函数$y=\sin x$是奇函数,写出命题p的否定,并判断其真假.

    解:blob.pngp:函数$y=\sin x$不是奇函数.假命题.

  • 3.存在性命题的否定

    存在性命题$p : \exists x \in A, p(x)$;

    它的否定是blob.png

    名师点拨

    否定存在性命题时,首先把存在量词改为全称量词,再对性质$p(x)$进行否定.

    【做一做3】 已知命题p:有些三角形是等腰三角形.写出命题p的否定.

    解: blob.pngp:所有三角形都不是等腰三角形.

  • 4.全称命题的否定

    全称命题$q : \forall x \in A, q(x)$;

    它的否定是 blob.png.

    名师点拨

    否定全称命题时,首先把全称量词改为存在量词,再对性质$q(x)$进行否定.

    【做一做4】 已知命题$q:$矩形的对角线相等.写出命题$q$的否定.

    分析:此命题省略了全称量词“所有”,按全称命题的否定形式进行否定得到 blob.pngq:有些矩形的对角线不相等.

    解:blob.pngq:有些矩形的对角线不相等.

重难点
  • 省略全称量词的全称命题的否定.

    剖析:有的全称命题省略了全称量词,否定时要特别注意.例如,q:实数的绝对值是正数.将blob.pngq写成:“实数的绝对值不是正数”就错了.原因是q是假命题,blob.pngq也是假命题,这与q,blob.pngq一个为真一个为假相矛盾.正确的否定应为:“存在一个实数的绝对值不是正数.”为了避免出错,可用Ⅲ表加以验证.

    归纳总结    
    (1)一般来说,全称命题的否定是一个存在性命题,存在性命题的否定是一个全称命题,因此在写其否定时,要把相应的全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.

    (2)下表是一些常用词语和它们的否定词语,理解它们对于今后解决问题大有帮助.

    原词语

    等于

    大于(>)

    小于(<)

    都是

    否定词语

    不等于

    不大于

    不小于

    不是

    不都是

    原词语

    至多有一个

    至少有一个

    至多有$n$

    否定词语

    至少有两个

    一个也没有

    至少有$n+1$个

    原词语

    任意的

    任意两个

    所有的

    否定词语

    某个

    某两个

    某些

    不能

例题解析
  • blob.pngp”形式的命题及其真假

    【例1】 写出下列命题的否定,并判断其真假:

    $(1) p :$圆$(x-1)^{2}+y^{2}=4$的圆心是(1,0);

    $(2) q : 50$是7的倍数;

    $(3) r :$一元二次方程至多有两个解;

    $(4) s : 7 < 8$.

    反思

    解决此类问题要依据命题的否定形式进行否定.注意:常用词语的否定词语不能写错.

  • 存在性命题与全称命题的否定

    【例2】 写出下列命题的否定,并判断其真假:

    $(1) p : \exists x \in \mathbf{R}, x^{2}+1 < 0$;

    $(2) q$:每一个对角互补的四边形有外接圆;

    $(3) r$:有些菱形的对角线互相垂直;

    $(4) s$:所有能被3整除的整数是奇数.

    分析:命题$p, r$是存在性命题,按存在性命题的否定形式进行否定即可.

    命题$q, s$是全称命题,按全称命题的否定形式进行否定即可.

    反思

    (1)解决此类问题首先分清命题是存在性命题还是全称命题,然后按存在性命题和全称命题的否定形式进行否定.(2)全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.

  • 易错题型

    【例3】 写出命题“菱形的对角线相等”的否定.

    错解:其否定是:菱形的对角线不相等.

    错因分析:没有注意到该命题是省略了全称量词的全称命题,从而没把全称量词改为存在量词.

    正解:有些菱形的对角线不相等.

  • 真题

    1.命题“$p$”与命题“blob.pngp”的真假关系是(  )

    A.可能都是真命题  B.一定是一真一假

    C.可能都是假命题  D.不能判断

    2.命题$2 \neq 3$的形式是(  )

    A.blob.pngp  $\mathrm{B} \cdot p \vee q$

    $\mathrm{C}\cdot p \wedge q$ D.以上答案都不正确

    3.已知命题$p:$存在实数m,使方程$x^{2}+m x+1=0$有实数根,则p是(  )

    A.存在实数$m$,使方程$x^{2}+m x+1=0$无实数根

    B.不存在实数$m$,使方程$x^{2}+m x+1=0$无实数根

    C.对任意的实数$m$,方程$x^{2}+m x+1=0$无实数根

    D.至多有一个实数$m$,方程$x^{2}+m x+1=0$无实数根

    4.已知p,q是两个命题,且命题“$p \wedge q$”是假命题,则下列命题为真的是(  )

    blob.png

    5.命题“存在$x \in \mathbf{R}, 2^{x} \leqslant 0$”的否定是(  )

    A.不存在$x \in \mathbf{R}, 2^{x}>0$ 

    B.存在$x \in \mathbf{R}, 2^{x} \geqslant 0$

    C.对任意的$x \in \mathbf{R}, 2^{x} \leqslant 0$ 

    D.对任意的$x \in \mathbf{R}, 2^{x}>0$

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关推荐

导数的运算

1.掌握基本初等函数的导数公式,并能利用这些公式求基本初等函数的导数. 2.熟练运用导数的运算法则. 3.正确地对复合函数进行求导,合理地选择中间变量,认清是哪个变量对哪个变量求导数.