椭圆的几何性质

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.掌握椭圆的几何性质.
2.掌握椭圆的标准方程中a,b,c,e的几何意义及其之间的相互关系.
知识点
  • 焦点在$x$轴、$y$轴上的椭圆的几何性质与特征的比较:

    焦点的位置

    焦点在x轴上

    焦点在y轴上

    图形

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    标准

    方程

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>b>0)$

    $\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>b>0)$

    范围

    $-a \leq x \leqslant a, \\ -b \leqslant v \leqslant b$

    $-a \leq v \leqslant a, \\ -b \leq x \leq b$

    顶点

    $A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0)$

    $B_{1}(0,-b), B_{2}(0, b)$


    $A_{1}(0,-a), A_{2}(0, a)$

    $B_{1}(-b, 0), B_{2}(b, 0)$


    轴长

    长轴长为2$a$,短轴长为2$b$

    焦点的位置

    焦点在x轴上

    焦点在y轴上

    焦距

    2$c\left(c^{2}=a^{2}-b^{2}\right)$

    对称性

    对称轴为$x$轴,$y$,对称中心为原点

    离心率

    $e=\frac{c}{a} \in(0,1)$,其中$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

    名师点拨

    (1)判断曲线关于原点,x轴,y轴对称的方法.

    若把方程中的$x$换成$-x,y$换成$-y$,方程不变,则曲线关于原点对称.

    若把方程中的$y$换成$-y$,方程不变,则曲线关于$x$轴对称.

    若把方程中的$x$换成$-x$,方程不变,则曲线关于$y$轴对称.

    (2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点.

    【做一做1】 椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{36}=1$的长轴长为(  )

    A.5 B.3 C.6 D.12

    解析:由椭圆的方程可知长半轴长$a=6$,所以长轴长$2a=12$.

    答案:D

    【做一做2】 椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率为_________. 

    答案:$\frac{4}{5}$

重难点
  • 椭圆的离心率

    剖析:(1)椭圆的焦距与长轴长的比,称作椭圆的离心率.记作$e=\frac{c}{a}$

    (2)因为$a>c>0$,所以离心率$e$的取值范围是$0 < e < 1$.

    离心率的大小对椭圆形状的影响:

    ①当$e$趋近于1时,$c$趋近于a,从而$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}$,因此椭圆越扁平;

    ②当$e$趋近于0时,$c$趋近于0,从而$b$趋近于$a$,因此椭圆越接近于圆.

    椭圆与圆是两种不同的曲线,因此椭圆的离心率满足不等式$0 < e < 1$.

    当$e=0$时,曲线为圆.

例题解析
  • 利用椭圆的方程研究其几何性质

    【例1】 分别求出椭圆$25 x^{2}+16 y^{2}=400$的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.

    分析:把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素$a, b, c$,即可求出答案.

    反思    
    已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式,找准$a$与$b$,求出$c$,才能正确地得出椭圆的有关性质.

  • 利用椭圆的几何性质求椭圆的方程

    【例2】 已知 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+y 2=1(a>0, a \neq 1)$表示离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆,求椭圆的标准方程.

    分析:椭圆的焦点不知在哪个坐标轴上,故需要分两种情况来讨论,再由$e=\frac{1}{2}$即可求得.

    反思在求椭圆的标准方程时,首先要分清焦点在哪个坐标轴上,然后利用条件求出$a^{2}$.本题所给方程中的$a$与椭圆标准方程中的a不同.

  • 椭圆几何性质的应用

    【例3】 已知椭圆的中心在原点,离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}, F$,F为左焦点,A为右顶点,B为短轴一顶点,求$\angle A B F$的余弦值.

    分析:已知离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,即$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,即$a=\sqrt{2} c$.再由$a,b,c$的关系可得$b=c$.在$\Delta A B F$中,由余弦定理可求得结果.

  • 真题

    1.椭圆$6 x^{2}+y^{2}=6$的长轴的端点坐标为(  )

    A. $(-1,0),(1,0)$

    B. $(-6,0),(6,0)$

    C. $(-\sqrt{6}, 0),(\sqrt{6}, 0)$

    D. $(0,-\sqrt{6}),(0, \sqrt{6})$

    2.椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9}=1$有(  )

    A.相同的短轴 B.相同的长轴

    C.相同的离心率 D.坐标相同的两个顶点

    3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为$\frac{1}{3}$,长轴长为12,则椭圆的标准方程是(  )

    A. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{6}=1 \quad$ B. $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}=1$

    $\mathrm{C} \cdot \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}=1$或$\frac{y^{2}}{36}+\frac{x^{2}}{32}=1$ $D \cdot \frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{36}=1$

    4.已知$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上的一动点,且$P$与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为$-\frac{1}{2}$,则椭圆的离心率为(  )

    A. $\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{C} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

    5.已知椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率$e=\frac{\sqrt{10}}{5}$,则$m$的值为__________. 

    6.已知椭圆的焦点在坐标轴上,且椭圆过点$(3,0)$,离心率$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$,求椭圆的标准方程.

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