曲边梯形面积与定积分

【做一做1-1】 “求和式极限”所得的面积(或路程)是值(填“近似”或“精确”);定积分$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$是______.　　　　

(填“函数”或“常数”). 

答案：精确　常数

【做一做1-2】 利用定积分定义计算$\int_{1}^{2}(1+x) d x=$______.

解析：因为$f(x)=1+x$在区间$[1,2]$上连续,将区间$[1,2]$分成n等份,则每个区间的长度为$\Delta x_{i}=\frac{1}{n}$,在$\left[x_{i-1}, x_{i}\right]=\left[1+\frac{i-1}{n}, 1+\frac{i}{n}\right]$取$\xi_{i}=x_{i-1}=1+\frac{i-1}{n}(i=1,2,3, \ldots, n)$,于是$f\left(\xi_{i}\right)=f\left(x_{i-1}\right)=1+1+\frac{i-1}{n}=2+\frac{i-1}{n}$,从而 $\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} f(\xi i) \Delta x i \\ =\sum_{i=1}^{n}\left(2+\frac{i-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} \\ =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2}{n}+\frac{i-1}{n^{2}}\right)=\frac{2}{n} \cdot n+\frac{1}{n^{2}}[0+\\ 1+2+\cdots+(n-1) ] \\ =2+\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{n(n-1)}{2}=2+\frac{n-1}{2 n} \end{aligned}$

所以$\int_{1}^{2}(1+x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(2+\frac{n-1}{2 n}\right) \\ =2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

答案：$\frac{5}{2}$

【做一做2-1】 定积分$\int_{a}^{b} c d x(c$为常数$)$的几何意义是____________________________________.　　

答案：表示由直线$x=a x=b(a \neq b), y=0$和y=c所围成的矩形的面积

【做一做2-2】 由$y=\sin x, x=0, x=\frac{\pi}{2}, y=0$所围成图形的面积写成定积分的形式是______. 　　　　　　　　　　　　

答案：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x$

【例题1】 已知一物体做自由落体运动,运动速度$v=g t$,用定积分的定义求在时间区间$[0, t]$上物体下落的距离s.

分析：利用定义求定积分可分为四步:分割、近似代替、求和、取极限,按步骤求解即可.

【例题2】 用定积分的几何意义求$\int_{a}^{b} \sqrt{(x-a)(b-x)} \mathrm{d} x(b>a)$的值.

分析：明确定积分的几何意义??曲边梯形的面积,结合曲线特点求解.

【例题3】 用定积分表示由曲线$y=\sin x$与直线$x=-\pi, x=0, y=0$所围成的图形的面积.

1.设函数$f(x)$定义在区间$[a, b]$上,用分点$a= \\ x_{0} < x_{1}<\cdots < x_{i-1} < x_{i}<\cdots < x_{n}=b$
,把区间$[a, b]$等分成$n$个小区间,在每个小区间上任取

一点$\xi_{i}(i=0,1,2, \cdots, n-1)$,作和式$S_{n}=\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi i) \Delta x($其中$\Delta x$为小区间的长度),那么和式$S n$的大小(　　)

A.与$f(x)$和区间$[a, b]$有关,与分点的个数$n$和$\xi_{i}$的取法无关 < br/>

B.与$f(x)$、区间$[a, b]$和分点个数$n$有关,与$\xi_{i}$的取法无关

C.与$f(x)$、区间$[a, b]$和$\xi_{i}$的取法有关,与分点的个数$n$无关

D.与$f(x)$、区间$[a, b]$、分点的个数$n, \xi_{i}$的取法都有关

2.设连续函数$f(x)>0$,则当$a < b$时,定积分$\int_{a}^{b} f(x) d x$的符号(　　)

A.一定是正的

B.一定是负的

C.当$0 < a < b$时是正的,当$a < b < 0$时是负的

D.以上结论都不正确

3.下列式子中不成立的是(　　)

A. $\int_{a}^{2 \pi+a} \quad \sin x d x=\int_{a}^{2 \pi+a} \cos x d x$

B. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x$

C. $\int_{0}^{\pi} \sin x d x=\int_{0}^{\pi} \cos x d x$

D. $\int_{0}^{\pi}|\sin x| d x=\int_{0}^{\pi}|\cos x| d x$

4.直线$x=0, y=0, x=2$与曲线$y=(\sqrt{2}) x$所围成的图形的面积用

定积分表示为__________. 

5.若$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=6$,则$\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi i) \frac{b-a}{n}=$__________..