曲边梯形面积与定积分

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.了解曲边梯形的面积,掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想.
2.掌握定积分的概念,会用定义求定积分,理解定积分的几何意义,理解定积分的性质.
知识点
  • 1.一般函数定积分的定义

    设函数$y=f(x)$定义在区间$[a, b]$上,用分点$a=x_{0} < x_{1} < x_{2}<\cdots < x_{n-1} < x_{n}=b$把区间$[a, b]$分为n个小区间,其长度依次为 

    blob.png

    $\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}, i=0,1,2, \cdots, n-1$.

    记$\lambda$为这些小区间长度的最大者,当$\lambda$趋近于0时,所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点$\xi_{j}$,作和式

    $I_{n}=\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi i) \Delta x i$


    当$\lambda \rightarrow 0$时,如果和式的极限存在,我们把和式$I_{n}$的极限叫做函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分,记作$\int_{a}^{b} f(x) d x$,即$\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi i) \Delta x i$


    其中$f(x)$叫做被积函数,$a$叫积分下限,$b$叫积分上限,$f(x) \mathrm{d} x$叫做被积式.此时称函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积.

    归纳总结
    1.定积分$\int_{a}^{b} f(x) d x$是一个常数.

  • 2.用定义求定积分的一般步骤.

    (1)分割:$n$等分区间$[a, b]$;

    (2)近似代替:在每个小区间任取$\xi_{i,}$;

    (3)求和:$\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi i) \cdot \frac{b-a}{n}$;

    (4)取极限:$\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi i) \cdot \frac{b-a}{n}$.

    【做一做1-1】 “求和式极限”所得的面积(或路程)是值(填“近似”或“精确”);定积分$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$是______.    

    (填“函数”或“常数”). 

    答案:精确 常数

    【做一做1-2】 利用定积分定义计算$\int_{1}^{2}(1+x) d x=$______.

    解析:因为$f(x)=1+x$在区间$[1,2]$上连续,将区间$[1,2]$分成n等份,则每个区间的长度为$\Delta x_{i}=\frac{1}{n}$,在$\left[x_{i-1}, x_{i}\right]=\left[1+\frac{i-1}{n}, 1+\frac{i}{n}\right]$取$\xi_{i}=x_{i-1}=1+\frac{i-1}{n}(i=1,2,3, \ldots, n)$,于是$f\left(\xi_{i}\right)=f\left(x_{i-1}\right)=1+1+\frac{i-1}{n}=2+\frac{i-1}{n}$,从而 $\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} f(\xi i) \Delta x i \\ =\sum_{i=1}^{n}\left(2+\frac{i-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} \\ =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2}{n}+\frac{i-1}{n^{2}}\right)=\frac{2}{n} \cdot n+\frac{1}{n^{2}}[0+\\ 1+2+\cdots+(n-1) ] \\ =2+\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{n(n-1)}{2}=2+\frac{n-1}{2 n} \end{aligned}$

    所以$\int_{1}^{2}(1+x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(2+\frac{n-1}{2 n}\right) \\ =2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

    答案:$\frac{5}{2}$

  • 2.曲边梯形的面积根据定积分的定义,曲边梯形的面积$S$等于其曲边所对应的函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分,即$S=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$

    【做一做2-1】 定积分$\int_{a}^{b} c d x(c$为常数$)$的几何意义是____________________________________.  

    答案:表示由直线$x=a x=b(a \neq b), y=0$和y=c所围成的矩形的面积

    【做一做2-2】 由$y=\sin x, x=0, x=\frac{\pi}{2}, y=0$所围成图形的面积写成定积分的形式是______.             

    答案:$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x$

重难点
  • 1.定积分有哪些性质? 

    剖析:(1)定积分有三条主要的性质:

    ①$\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$为常数$)$;

    ②$\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$

    ③ $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x \\ (a < c < b)$

    (2)性质①②称为定积分的线性性质,性质③称为定积分对积分区间的可加性.

    (3)性质①的等式左边是一个定积分,等式右边是常数与一个定积分的乘积.

    (4)性质②对于有限个函数(两个以上)也成立.性质③对于把区间$[a, b]$分成有限个(两个以上)区间也成立. 

    blob.png

    (5)对于定积分的性质③可以用图直观地表示出来,即blob.png

    (6)定义中区间的分法和$x_{i}$的取法都是任意的.

    (7)在定积分的定义中,$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$限定下限小于上限,即$a < b$.为了方便计算,人们把定积分的概念扩大,使下限不一定小于上限,并规定:$\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0$.

  • 2.怎样计算曲边梯形的面积? 

    剖析:(1)由三条直线$x=a, x=b(a < b), x$轴,一条曲线$y=f(x)(f(x) \geqslant 0)$围成的曲边梯形的面积$S=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$(如图①).

     blob.png

    (2)由三条直线$x=a, x=b(a < b), x$轴,一条曲线$y=f(x)(f(x) \leqslant 0)$围成的曲边梯形的面积$S=\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|=-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$(如图②).

    (3)由两条直线$x=a, x=b(a < b)$,两条曲线$y=f(x), y=g(x)(f(x) \geqslant g(x)$围成的平面图形的面积$S=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$(如图③).

     blob.png

    (4)由三条直线$x=a_{y} x=b(a < b), x$轴,一条曲线$y=f(x)$(如图④)围成的曲边梯形的面积$S=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x-\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.

例题解析
  • 利用定义求定积分

    【例题1】 已知一物体做自由落体运动,运动速度$v=g t$,用定积分的定义求在时间区间$[0, t]$上物体下落的距离s.

    分析:利用定义求定积分可分为四步:分割、近似代替、求和、取极限,按步骤求解即可.

    反思
    1.根据定义求定积分的步骤:(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.

    2.物体作变速直线运动所经过的路程s等于其速度函数$v=v(t)$在时间区间$[0,t]$上的定积分,即$s=\int_{0}^{t} v(t) \mathrm{d} t$

  • 定积分的几何意义

    【例题2】 用定积分的几何意义求$\int_{a}^{b} \sqrt{(x-a)(b-x)} \mathrm{d} x(b>a)$的值.

    分析:明确定积分的几何意义??曲边梯形的面积,结合曲线特点求解.

    反思$\int_{a}^{b} f(x) d x(f(x)>0)$表示曲边梯形的面积,而半圆可看作是特殊的曲边梯形(有两边缩为点),求出面积,从而得出定积分的值.

  • 易错辨析

    易错点:用定积分表示曲边梯形的面积时,不注意曲边梯形的位置,易导致错误.当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正值,且等于曲边梯形的面积,当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负值,且等于曲边梯形面积的相反数.

    【例题3】 用定积分表示由曲线$y=\sin x$与直线$x=-\pi, x=0, y=0$所围成的图形的面积.

  • 真题

    1.设函数$f(x)$定义在区间$[a, b]$上,用分点$a= \\ x_{0} < x_{1}<\cdots < x_{i-1} < x_{i}<\cdots < x_{n}=b$
    ,把区间$[a, b]$等分成$n$个小区间,在每个小区间上任取

    一点$\xi_{i}(i=0,1,2, \cdots, n-1)$,作和式$S_{n}=\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi i) \Delta x($其中$\Delta x$为小区间的长度),那么和式$S n$的大小(  )

    A.与$f(x)$和区间$[a, b]$有关,与分点的个数$n$和$\xi_{i}$的取法无关 < br/>

    B.与$f(x)$、区间$[a, b]$和分点个数$n$有关,与$\xi_{i}$的取法无关

    C.与$f(x)$、区间$[a, b]$和$\xi_{i}$的取法有关,与分点的个数$n$无关

    D.与$f(x)$、区间$[a, b]$、分点的个数$n, \xi_{i}$的取法都有关

    2.设连续函数$f(x)>0$,则当$a < b$时,定积分$\int_{a}^{b} f(x) d x$的符号(  )

    A.一定是正的

    B.一定是负的

    C.当$0 < a < b$时是正的,当$a < b < 0$时是负的

    D.以上结论都不正确

    3.下列式子中不成立的是(  )

    A. $\int_{a}^{2 \pi+a} \quad \sin x d x=\int_{a}^{2 \pi+a} \cos x d x$

    B. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x$

    C. $\int_{0}^{\pi} \sin x d x=\int_{0}^{\pi} \cos x d x$

    D. $\int_{0}^{\pi}|\sin x| d x=\int_{0}^{\pi}|\cos x| d x$

    4.直线$x=0, y=0, x=2$与曲线$y=(\sqrt{2}) x$所围成的图形的面积用

    定积分表示为__________. 

    5.若$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=6$,则$\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi i) \frac{b-a}{n}=$__________.. 

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。