微积分基本定理

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解微积分基本定理的含义.       
2.会用定理求定积分.
知识点
  • 微积分基本定理

    (1$F^{\prime}(x)$从$a$到$b$的积分等于$F(x)$在两端点的取值之差.

    (2)微积分基本定理.

    如果$F^{\prime}(x)=f(x)$,且$F(x)$在$[a,b]$上可积,则

    $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$

    其中$F(x)$叫做$F(x)$的一个原函数.由于$[F(x)+c]^{\prime}=f(x), F(x)+c$也是$F(x)$的原函数,其中$c$为常数.

    一般地,原函数在$[a,b]$上的改变量$F(b)-F(a)$简记作$F\left.(x)\right|_{a} ^{b}$.因此,微积分基本定理可以写成形式:$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F\left.(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)$.

    名师点拨

    1.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供了计算定积分的一种有效方法.但当运用公式不能直接求积分时,需考虑用定积分的几何意义来解决.

    2.利用微积分基本定理求定积分$\int_{a}^{b} f(x) d x$的关键是找出使$F^{\prime}(x)=f(x)$的函数$F(x)$.通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出$F(x)$.

    3.求导运算与求原函数运算互为逆运算.

    【做一做1】 下列各式正确的是(  )

    $\mathrm{A} \cdot \int_{a}^{b} F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F^{\prime}(b)-F^{\prime}(a)$

    $\mathrm{B} \cdot \int_{a}^{b} F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F^{\prime}(a)-F^{\prime}(b)$

    $\mathrm{C} \cdot \int_{a}^{b} F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$

    $\mathrm{D} \cdot \int_{a}^{b} F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(a)-F(b)$

    答案:C 

    【做一做2】 计算$\int_{0}^{5}(2 x-4) d x=$________.

    解析:$\because\left(x^{2}-4 x\right)^{\prime}=2 x-4, \\ \therefore \int_{0}^{5}(2 x-4) \mathrm{d} x=\left.(x 2-4 x)\right|_{0} ^{5}$

    $=\left(5^{2}-4 \times 5\right)-0=5$

    答案:5 

重难点
  • 求定积分有哪些常用技巧?

    剖析:
    (1)对被积函数,要先化简,再求积分.

    (2)对被积函数是分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.

    (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分.

例题解析
  • 利用微积分基本定理求函数的定积分

    【例题1】 求下列定积分:

    (1) $\int_{-2}^{-1}(2+x 2) 2 \mathrm{d} x$

    (2) $\int_{1}^{4} \frac{x+1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x$

    (3) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{4} \frac{x+1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x$

    分析:将被积函数适当变形,确定原函数,再运用微积分基本定理求解.

    反思
    1.求$\int_{a}^{b} f(x) d x$一般分为两步:(1)求$f(x)$的原函数$F(x)$;(2)计算$F(b)-F(a)$的值即为所求.

    2.求复杂函数定积分要依据定积分的性质.

    (1)有限个函数代数和(差)的积分,等于各个函数积分的代数和(差),即

    $\int_{a}^{b}\left[f 1(x) \pm f 2(x) \pm \cdots \pm f_{n}(x)\right] \mathrm{d} x \\ =\int_{a}^{b} f 1(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} f 2(x) \mathrm{d} x \pm$

    $\cdots \pm \int_{a}^{b} f n(x) \mathrm{d} x$

    (2)常数因子可提到积分符号外面,即$\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.

    (3)当积分上限与下限交换时,积分值一定要取其相反数,即$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x$.

    (4)定积分对区间的可加性,若$c \in[a, b]$,则有$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.

  • 几类特殊被积函数的定积分

    【例题2】 求下列定积分:

    (1) $\int_{-2}^{3} \sqrt{16+6 x-x^{2}} \mathrm{d} x$;

    (2)若$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^{2}, x \leq 0} \\ {\cos x-1, x>0}\end{array}\right.$求$\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$;

    (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} d x$.

    分析:由于被积函数不是基本初等函数,因此需要先变换被积函数,再求定积分. 

    反思
    1.对于直接用微积分基本定理不易求解的题目,转化为用定积分的几何意义来求解,不仅简捷可行,而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系,因而充分把握定积分的几何意义,也是学好本节内容的关键.

    2.对于被积函数是分段函数的定积分,通常是依据定积分“对区间的可加性”,先分段积分再求和.要注意各段定积分的上、下限的取值.

    3.对于较复杂的被积函数,要先化简,再求定积分.若是计算$\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$,这时要讨论$f(x)$的正负,转化为分段函数求原积分

  • 利用定积分求平面图形的面积

    【例题3】 下图中阴影部分的面积是(  )

    blob.png

    A.16  B.18  C.20  D.22

    反思    
    求平面图形的面积的一般步骤是:

    (1)画图,并将图形分割成若干曲边梯形;

    (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分上、下限;

    (3)确定被积函数;

    (4)求出各曲边梯形的面积的和,即各积分的绝对值之和.

  • 真题

    1.$\int^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x) d x$的值是(  )

    A.0        $B \cdot \frac{\pi}{4}$              C.2            D.4

    2.曲线$y=\cos x\left(0 \leq x \leq \frac{3}{2} \pi\right)$与坐标轴所围成的图形的面积是(  )

    A.2  B.3 $\mathrm  {C} \cdot \frac{5}{2}$  D.4

    3.如图,阴影部分的面积是(  )

    blob.png

    $\begin{array}{llll}{\mathrm{A} .2 \sqrt{3}} & {\mathrm{B} \cdot 2-\sqrt{3}} & {\text { C. } \frac{32}{3}} & {\text { D. } \frac{35}{3}}\end{array}$

    4.计算$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x=$_________.

    5.已知函数$f(x)=3 x^{2}+2 x+1$,若$\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2 f(a)$成立,则$a=$_________.

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。