曲线的极坐标方程 -4圆的极坐标方程

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线,过极点或圆心在极点的圆)的方程.
2.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.
知识点
  • 1.曲线C的极坐标方程

    在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程$F(\rho, \theta)=0$,如果曲线C是由极坐标$(\rho, \theta)$满足方程的所有点组成的,则称此二元方程$F(\rho, \theta)=0$为曲线$C$的极坐标方程.

    名师点拨

    (1)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多组表示形式,这里要求至少有一组能满足极坐标方程.有些

    表示形式可能不满足方程.例如,对极坐标方程$\rho=\theta$,点$M\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$可以表示为$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}+2 \pi\right)$或$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}-2 \pi\right)$等多种形式,其中只有$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$的形式满足方程,而其他表示形式都不满足方程.

    (2)今后我们遇到的极坐标方程多是$\rho=\rho(\theta)$的形式,即$\rho$为$\theta$的一个函数.

    (3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程$\rho=\rho(\theta)$的图形的对称性:若$\rho(\theta)=\rho(-\theta)$,则相应图形关于极轴对称;若$\rho(\theta)=\rho(\pi-\theta)$,则图形关于射线$\theta=\frac{\pi}{2}$;若$\rho(\theta)=\rho(\pi+\theta)$,则图形关于极点$O$对称.

  • 2.圆心在极轴上且过极点的圆

    圆心在极轴上的点$(a, 0)(a>0)$处,且圆过极点$O, P(2 a, 0)$为圆与极轴的另一交点,圆的半径为$a$,则圆的极坐标方程为$\rho=2 a \cos \theta,-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

  • 3.圆心在点$\left(a, \frac{\pi}{2}\right)$处且过极点的圆

    圆心在点$\left(a, \frac{\pi}{2}\right)(a>0)$处,且圆过极点$O$,圆与射线$\theta=\frac{\pi}{2}$ 的交点为$P\left(2 a, \frac{\pi}{2}\right)$,圆的半径为a,则圆的极坐标方程为$\rho=2 a \sin \theta, 0 \leq \theta \leq \pi$.

    【做一做1-1】 极坐标方程$\rho=1$表示(  )

    A.直线  B.射线 

    C.圆    D.椭圆

    答案:C

    【做一做1-2】 在极坐标系中,求圆心为$A\left(8, \frac{\pi}{3}\right)$,半径为5的圆的方程.

    解:在圆上任取一点$P(\rho, \theta)$,则在$\triangle A O P$中,$|O A|=8,|A P|=5, \angle A O P=\frac{\pi}{3}-\theta$或$\theta-\frac{\pi}{3}$.

    由余弦定理得$\cos \angle A O P=\frac{8^{2}+\rho^{2}-5^{2}}{2 \times 8 \times \rho}$,

    即$\rho^{2}-16 \rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)+39=0$为所求圆的极坐标方程.

  • 4.过极点的直线的极坐标方程

    直线l经过极点,极轴与直线l的夹角是$\theta_{0}$,则直线$l$的极坐标方程为$\theta=\theta_{0}(\rho \in \mathbf{R})$.

    名师点拨求平面曲线的极坐标方程,就是要找极径$\rho$和极角$\theta$之间的关系,常用解三角形的知识(正弦定理、余弦定理)、利用三角形的面积相等等来建立$\rho, \theta$之间的关系.

    【做一做2-1】 极坐标方程$\sin \theta=\frac{1}{3}(\rho \in \mathbf{R})$ 表示的曲线是(  )

    A.两条相交直线  B.两条射线C.一条直线    D.一条射线

    答案:A

    【做一做2-2】 曲线$\theta=0, \theta=\frac{\pi}{3}(\rho \geq 0)$和$\rho=4$所围成的图形的面积是_________. 

    答案:$\frac{8 \pi}{3}$

重难点
  • 1.直角坐标系与极坐标系的区别

    剖析(1)在平面直角坐标系内,点与有序实数对即坐标$(x, y)$是一一对应的,可是在极坐标系内,虽然一个有序实数对$(\rho, \theta)$只能与一个点$P$对应,但一个点$P$却可以与无数多个有序实数对$(\rho, \theta)$对应.例如$(\rho, 2 n \pi+\theta)$)与$(-\rho,(2 n+1) \pi+\theta)(n$为整数$)$表示的是同一个点,所以在极坐标系内点与有序实数对$(\rho, \theta)$不是一一对应的.

    (2)在直角坐标系内,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只看作一个方程).可是在极坐标系内,虽然是一个方程只能与一条曲线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程不是一一对应的.

    (3)在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系内,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线$\rho=\theta$,设点$P$的一个极坐标为$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$,那么点$P$适合方程$\rho=\theta$,从而是曲线上的一个点,但点$P$的另一个极坐标$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right)$就不适合方程$\rho=\theta$了.所以在极坐标系内,确定某一个点P是否在某一曲线$C$上,只需判断点vP$的极坐标中是否有一种形式适合曲线$C$的方程即可.

  • 2.求极坐标方程的步骤

    剖析求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似,就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲线上的点的极坐标$\rho, \theta$的关系式$F(\rho, \theta)=0$表示出来,就得到曲线的极坐标方程,具体如下:

    (1)建立适当的极坐标系,设$P(\rho, \theta)$是曲线上任意一点.

    (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径$\rho$和极角$\theta$之间的关系式.

    (3)将列出的关系式进行整理,化简,得出曲线的极坐标方程.

    (4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,则证明可以省略.

  • 3.常见的直线和圆的极坐标方程

    剖析(1)直线的极坐标方程$(a>0)$.

    ①过极点,并且与极轴成$\theta_{0}$角的直线的极坐标方程:$\theta=\theta_{0}(\rho \in \mathbf{R})$;

    ②垂直于极轴和极点间的距离为$a$的直线的极坐标方程:$\rho \sin \theta=a$;

    ③平行于极轴和极轴间的距离为$a$的直线的极坐标方程:$\rho \sin \theta=a$;

    ④不过极点,和极轴成$\alpha$角,到极点的距离为$a$的直线的极坐标方程:$\rho \sin (\alpha-\theta)=a$.

    (2)圆的极坐标方程$(a>0)$.

    ①圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程:$\rho=a$;

    ②圆心在$(a, 0)$,半径为a的圆的极坐标方程:$\rho=2 a \cos \theta$;

    ③圆心在$(a, \pi)$,半径为a的圆的极坐标方程$: \rho=-2 a \cos \theta$;

    ④圆心在$\left(a, \frac{\pi}{2}\right)$的圆的极坐标方程:$\rho=2 \operatorname{asin} \theta$;

    ⑤圆心在$\left(a, \frac{3 \pi}{2}\right)$的圆的极坐标方程:$\rho=-2 \operatorname{asin} \theta$;

    ⑥圆心在$\left(a, \theta_{0}\right)$,半径为$a$的圆的极坐标方程:$\rho=2 a \cos \left(\theta-\theta_{0}\right)$.

例题解析
  • 题型一 圆的极坐标方程

    【例1】 求圆心在点$A\left(2, \frac{3 \pi}{2}\right)$处,并且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程.

    反思

    求曲线的极坐标方程的关键是找出曲线上的点满足的几何条件,将它用坐标表示,然后化简,最后求出$\rho$与$\theta$的函数关系,即为要求的极坐标方程.

  • 题型二 直线的极坐标方程

    【例2】 求过点$A(1,0)$且倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$的直线的极坐标方程.

    分析本题可用两种解法:

    (1)可先根据题意画出草图,并设点$M(\rho, \theta)$是直线上的任意一点,从而由等量关系建立关于$\rho, \theta$的方程并化简,最后检验是否是所求即可;

    (2)可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程,然后由

    公式$\left\{\begin{array}{l}{x=\rho \cos \theta} \\ {y=\rho \sin \theta}\end{array}\right.$化为极坐标方程即可.

    反思

    可通过运用正弦定理解三角形建立动点M所满足的等式,从而建立以$\rho, \theta$为未知数的方程;也可先求出直线的直角坐标方程,再通过利用直角坐标向极坐标转化的公式间接得解.

  • 题型三 直角坐标方程与极坐标方程的互化

    【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:

    (1)射线$y=\sqrt{3} x(x \leq 0)$;

    (2)圆$x^{2}+y^{2}+2 a x=0(a \neq 0)$.

    分析由公式$\left\{\begin{array}{l}{x=\rho \cos \theta} \\ {y=\rho \sin \theta}\end{array}\right.$化简即可.

    反思

    化曲线的直角坐标方程$f(x, y)=0$为极坐标方程$F(\rho, \theta)=0$,只要将$x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$代入到方程$f(x, y)=0$中即可.化为极坐标方程,如果不加特殊说明,就认为$\rho \geq 0$.

    例如$x^{2}+y^{2}=25$化为极坐标方程,有$\rho=5$或$\rho=-5$两种情况,因为$\rho \geq 0$,所以只取$\rho=5$.事实上,这两个方程都表示以极点为圆心,以5为半径的圆.

  • 题型四 易错辨析

    【例4】 把直角坐标方程$x+y=0$化为极坐标方程.

  • 真题

    1.极坐标方程$\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}(\rho \geq 0)$表示的曲线是(  )

    A.余弦曲线 B.两条相交直线 C.一条射线 D.两条射线

    2.在极坐标系中,过点$P\left(3, \frac{\pi}{3}\right)$,且垂直于极轴的直线方程为(  )

    A. $\rho \cos \theta=\frac{3}{2} \mathrm{B} \cdot \rho \sin \theta=\frac{3}{2}$

    $\mathrm{C} . \rho=\frac{3}{2} \cos \theta \mathrm{D} \cdot \rho=\frac{3}{2} \sin \theta$

    3.在极坐标系中,点$P\left(2, \frac{3 \pi}{2}\right)$到直线$l : 3 \rho \cos \theta-4 \rho \sin \theta=3$的距离    为_________. 

    4.求过点$A\left(2, \frac{\pi}{4}\right)$,且平行于极轴的直线.

    5.在圆心的极坐标为$A(4,0)$,半径为4的圆中,求过极点$O$的弦的中点的轨迹.

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