一元一次不等式和一元二次不等式的解法

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.熟练掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法.
2.能借助于一元一次(二次)不等式(组)求解有关问题.
知识点
  • 1.一元一(二)次不等式的概念

    (1)含有一个未知数并且未知数最高次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式.

    (2)含有一个未知数并且未知数最高次数是二次的不等式,叫做一元二次不等式.

    【做一做1】$x+m^{2}-1>0$一定可以看作(  )

    A.关于x的一次不等式

    B.关于m的一元二次不等式

    C.一次或二次不等式

    D.不是不等式

    解析:若$m$为参数,$x$为变量,当$m=0$时不是一元一次不等式;若$x$为参数,$m$为变量,则必为一元二次不等式.

    答案:$B$

  • 2.一元一次不等式的解法

    关于x的不等式$a x>b$,

    (1)当$a>0$时,该不等式的解集为$\left(\frac{b}{a},+\infty\right)$

    (2)当$a < 0$时,该不等式的解集为$\left(-\infty, \frac{b}{a}\right)$

    (3)当$a=0$时,若$b < 0$,则该不等式的解集为$R$;若$b≥0$,则该不等式的解集为$\varnothing$.

    【做一做2】 若关于x的不等式$m x+3 \leqslant 0$的解集为$[2,+\infty)$,则$m=$_________. 

    解析:$\because m x+3 \leqslant 0, \therefore m x \leqslant-3$.

    当$m>0$时,$x \leqslant-\frac{3}{m}$,与不等式的解集为$[2,+\infty)$矛盾,舍去;;

    当$m=0$时,不符合题意,舍去;

    当$m < 0$时,有$x \geqslant-\frac{3}{m}$

    $\because m x+3 \leqslant 0$的解集为$[2,+\infty), \therefore-\frac{3}{m}=2 . \therefore m=-\frac{3}{2}$

    答案:$-\frac{3}{2}$

  • 3.一元二次不等式的解法

    已知一元二次不等式$a x^{2}+b x+c>0$或$a x^{2}+b x+c < 0(a \neq 0)$.

    设$a>0, x_{1}, x_{2}$为一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0(a>0)$的两根,且$x_{1} < x_{2}, \Delta=b^{2}-4 a c$为其判别式,具体如下表:

    类型

    解集  

    $a x^{2}+b x \\ +c  >0$

    $a x^{2}+b x  \\ +c \geqslant 0$

    $a x^{2}+b x  \\ +c < 0$

    $a x^{2}+b x  \\  +c \leqslant 0$

    $\Delta>0$

    $\left(-\infty, x_{1}\right) \\ \cup\left(x_{2},+\infty\right)$

    $\left(-\infty, x_{1}\right] \\ \cup\left[x_{2},+\infty\right)$

    $\left(x_{1}, x_{2}\right)$

    $\left[x_{1}, x_{2}\right]$

    $\Delta=0$

    $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right) \\ \cup$

    $\left(-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$


    $\mathbf{R}$

    $\varnothing$

    $\left\{x | x= \\ -\frac{b}{2 a}\right\}$

    $\Delta < 0$

    $\mathbf{R}$

    $\mathbf{R}$

    $\varnothing$

    $\varnothing$

    【做一做3-1】 不等式$x^{2}-x-2 < 0$的解集为_________. 

    解析:因为$\Delta>0$,方程$x^{2}-x-2=0$的两根为-1和2,所以不等式$x^{2}-x-2 < 0$的解集为$\{x |-1 < x < 2\}$.

    答案:$\{x |-1 < x < 2\}$

    【做一做3-2】 不等式$-x^{2}+2 x-3>0$的解集为_________. 

    解析:由$-x^{2}+2 x-3>0$,得$x^{2}-2 x+3 < 0$.

    因为$\Delta < 0$,所以方程$x^{2}-2 x+3=0$无实根.

    所以不等式$x^{2}-2 x+3 < 0$的解集是空集.

    答案:$\varnothing$

重难点
  • 如何理解三个“二次”之间的关系?

    剖析:二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的关系如下表:

    $\Delta=b^{2}-4 a c$$y=a x^{2}+b x+c(a>0)$


    $\Delta>0$

    $\Delta=0$

    Δ<0


    blob.png

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    $a x^{2}+b x+c \\ =0(a>0)$的根

    有两相异实根

    $x_{1, x} 2=$

    $\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ \left(x_{1} < x_{2}\right)$


    有两相等实

    $x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2 a}$

    没有实根

    $a x^{2}+b x+c \\ > 0(a>0)$
    的解集

    $\left\{x | x \\ < x_{1}\right.$

    或$x>x_{2} \}$

    $\left\{x | x \neq-\frac{b}{2 a}\right\}$

    $R$

    $a x^{2}+b x+c \\ < 0(a>0)$的解集

    $\left\{x | x_{1} \\ < x < x_{2}\right\}$

    $\varnothing$

    $\varnothing$

    归纳总结
    (1) $a x^{2}+b x+c > 0$对一切$x \in \mathbf{R}$都成立的条件为$\left\{\begin{array}{l}{a>0,} \\ {\Delta < 0 ;}\end{array} a x 2+b x+c < 0\right.$对一切$x \in \mathbf{R}$都成立的条件是$\left\{\begin{array}{l}{a < 0} \\ {\Delta < 0}\end{array}\right.$

    (2)一元二次方程的根,就是相对应的二次函数的图象与$x$轴交点的横坐标,也就是相对应的一元二次不等式解集的端点.

例题解析
  • 解一元一次不等式

    【例1】 已知关于x的不等式$(a+b) x+(2 a-3 b) < 0$的解集为$\left\{x | x < -\frac{1}{3}\right\}$,求关于x的不等式$(a-3 b) x+(b-2 a) > 0$的解集.

    分析:由不等式$(a+b) x+(2 a-3 b) < 0$的解集是$\left\{x | x<-\frac{1}{3}\right\}$,

    得出两个结论:

    ①$-\frac{1}{3}$是方程$(a+b) x+(2 a-3 b)=0$的根.

    ②$a+b>0$.

    通过这两个结论可以解出$a,b$间的关系,进而可求$(a-3 b) x+(b-2 a)>0$的解集.

    反思

    分析出-$-\frac{1}{3}$ 是方程$(a+b) x+(2 a-3 b)=0$的根是解答本题的关键.

  • 解一元二次不等式

    【例2】 解下列不等式:

    (1) $2+3 x-2 x^{2}>0$

    (2) $x(3-x) \leqslant x(x+2)-1$

    (3) $x^{2}-2 x+3>0$.

    分析:解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式.②确定判别式$\Delta=b^{2}-4 a c$的符号.③若$\Delta \geqslant 0$,则求出该不等式对应的二次方程的根;若$\Delta < 0$,则对应的二次方程无根;若$\Delta=0$,则对应的二次方程有两个相等的实根.④联系对应的二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集.

    反思

    熟练掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系,会熟练地应用分解因式、配方的技能,并有效地应用数形结合的思想,就能得心应手解一元二次不等式.

  • 解含参数的不等式

    【例3】 解关于$x$的不等式:$x^{2}-\left(a+a^{2}\right) x+a^{3}>0$.

    分析:原不等式可变形为$(x-a)\left(x-a^{2}\right)>0$,所以需比较$(x-a)\left(x-a^{2}\right)=0$的两根$a$与$a^{2}$的大小,从而确定对$a$进行分类的标准.

    反思

    借助于因式分解法可求得相应的二次方程的两根,我们可通过讨论两根的大小关系,从而得到不等式的解集.

    【例4】 解关于x的不等式:$3 x^{2}-m x-m>0$.

    分析:通过讨论方程$3 x^{2}-m x-m=0$的根的情况得到不等式的解集.

    反思

    当与二次不等式相对应的二次方程不能应用因式分解的方法求出根时,我们可通过讨论判别式$\Delta$来解不等式.

  • 易错辨析

    易错点:因忽视对二次项系数的讨论而致错.

    【例5】 若不等式$(a-2) x^{2}+2(a-2) x-4 < 0$对一切$x \in \mathbf{R}$恒成立,求$a$的取值范围.

  • 真题

    1.不等式$(1-2 x)(3 x+1) < 0$的解集是(  )

    A. $\left\{x | x<-\frac{1}{3}\right.$或$x>\frac{1}{2} \}$

    B. $\left\{x |-\frac{1}{3} < x<\frac{1}{2}\right\}$

    C. $\left\{x | x>\frac{1}{2}\right\}$

    D. $\left\{x | x>-\frac{1}{3}\right\}$

    2.已知关于x的不等式$a x^{2}+b x+2>0$的解集是$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$,则常数$a+b$等于(  )

    A.-14  B.-10  C.10  D.14

    3.已知$y=f(x)$是定义在R上的奇函数,当$x>0$时,$f(x)=x-2$,那么不等式$f(x)<\frac{1}{2}$的解集是(  )

    A. $\left\{x | 0 < x<\frac{5}{2}\right\}$

    B. $\left\{x |-\frac{3}{2} < x < 0\right\}$

    C. $\left\{x |-\frac{3}{2} < x < 0\right.$或$0 < x<\frac{5}{2} \}$

    D. $\left\{x | 0 \leq x<\frac{5}{2}\right.$或$x<-\frac{3}{2} \}$

    4.不等式$2^{x^{2}+2 x-4} \leq \frac{1}{2}$的解集为_________. 

    5.解关于$x$的不等式:$x^{2}+(1-a) x-a < 0$.

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