数学归纳法原理

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.了解数学归纳法的原理.
2.了解数学归纳法的应用范围.
3.会用数学归纳法证明一些简单问题.
知识点
  • 1.归纳法

    由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常称为归纳法.

    名师点拨

    根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部,归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法.

    (1)不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特例得到一般结论的推理方法.不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的,但它是一种重要的思考问题的方法,是研究数学问题的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径.

    (2)完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时,采用完全归纳法.

    【做一做1-1】 观察式子:$1+\frac{1}{2^{2}}<\frac{3}{2}, 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}<\frac{5}{3}, \\  1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}, \ldots$
    则可归纳出_________. 

    解析:式子左侧为正整数平方的倒数和,右侧规律为:分子为3,5,7,9,…,分母为2,3,4,5,…故归纳,得$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}<\frac{2 n-1}{n}(n \geqslant 2)$.

    答案 :$1+\frac{4}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\dots+\frac{1}{n^{2}}<\frac{2 n-1}{n}(n \geqslant 2)$    

    【做一做1-2】 从1$1=1,1-4=-(1+2), \\ 1-4+9=1+2+3, \ldots$
    猜想第n个式子为_________. 

    答案:$1-4+9-16+\ldots+(-1)^{n-1} n^{2} \\ =(-1)^{n+1}(1+2+\ldots+n) \\ =(-1)^{n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

  • 2.数学归纳法

    一般地,当要证明一个命题对于不小于某正数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:

    (1)证明当$n=n_{0}$时命题成立;

    (2)假设当$n=k(k \in \mathbf{N}$,且$k \geqslant n_{0}$)时命题成立,证明当$n=k+1$时命题也成立.

    完成两个步骤后,就可以断定命题对于不小于$n_{0}$的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.

    名师点拨

    1.这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2),就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取$n_{0}$以后的数时命题是否正确,我们无法判定.同样,只有步骤(2)而缺少步骤(1),也可能得出不正确的结论.缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了.

    2.用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即$n=k+1$时为什么成立?$n=k+1$时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出$n=k+1$时命题成立,而不是直接代入,否则$n=k+1$时也成假设了,命题并没有得到证明.

    3.用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.

    【做一做2-1】 下列说法中不正确的是(  )

    A.数学归纳法中的两个步骤相互依存,缺一不可

    B.数学归纳法证明的是与正整数有关的命题

    C.数学归纳法证明的第一步是递推的基础,第二步是递推的依据

    D.数学归纳法中第一步必须从$n=1$开始

    答案:D

    【做一做2-2】 对于不等式$\sqrt{n^{2}+n} < n+1\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,某同学的证明过程如下:

    (1)当n=1时,$\sqrt{1^{2}+1} < 1+1$,不等式成立.

    (2)假设当$n=k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right.$,且$k \geqslant 1$时,不等式成立,即√$\sqrt{k^{2}+k} < k+1$,则当$n=k+1$时,$\sqrt{(k+1)^{2}+(k+1)}=\sqrt{k^{2}+3 k+2}<$,

    $\sqrt{\left(k^{2}+3 k+2\right)+(k+2)} \\ =\sqrt{(k+2)^{2}}=(k+1)+1$

    故当$n=k+1$时,不等式成立.

    上述的证明过程中,不正确的一步的序号为_________. 

    解析:在(2)中,由n=k到$n=k+1$的证明,没有用上归纳假设,故(2)错误.

    答案:(2)

重难点
  • 1.为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢?

    剖析:这是因为第一步首先验证了$n$取第一个值$n_{0}$时命题成立,这样假设就有了存在的基础.假设当$n=k$时命题成立,根据假设和合理推证,证明出当$n=k+1$时命题也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了当$n_{0}=1$时命题成立,又证明了当$n=k+1$时命题也成立,这就一定有当$n=2$时命题成立,当$n=2$时命题成立,则当$n=3$时命题也成立;当$n=3$时命题成立,则当$n=4$时命题也成立.如此反复,以至无穷.对所有$n \geqslant n_{0}$的正整数命题就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题,这就是数学方法的神奇.

  • 2.什么时候可以运用数学归纳法证明,证明时n0是否一定要为1?

    剖析:数学归纳法一般被用于证明某些涉及正整数n的命题,n可取无限多值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$的单调性就难以实现,一般说来,从$n=k$到$n=k+1$时,若问题中存在可利用的递推关系,则使用数学归纳法就较简单,否则使用数学归纳法就有困难.

    在运用数学归纳法时,要注意起点$n$并非一定取1,也可能取2等值,要看清题目,比如证明凸$n$边形的内角和$f(n)=(n-2) \times 180^{\circ}$,这里面的$n$应不小于3,即$n \geqslant 3$,第一个值$n_{0}=3$.

例题解析
  • 用数学归纳法证明恒等式

    【例1】 用数学归纳法证明:

    $\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3 \times 4}+\dots+\frac{1}{(2 n-1) \times 2 n}= \\ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}$

    分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的关键是第二步,要注意当$n=k+1$时等式两边的式子与$n=k$时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决.

    反思
    解题过程中容易将当$n=k+1$时,等式右边错写为 $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\dots+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$,从而导致证明错误或无法进行,特别要注意等式右边的每一个式子都在随$n$的变化而变化.

  • 用数学归纳法证明整除性问题

    【例2】 求证:$a^{n+1}+(a+1)^{2 n-1}$能被$a^{2}+a+1$整除,$n \in \mathbf{N}^{*}$.

    分析:对于多项式$A,B$,若$A=BC,C$也是多项式,则$A$能被$B$整除.若$A,B$都能被$C$整除,则$A+B,A-B$也能被$C$整除.

    反思
    证明整除性问题的关键是“凑项”,采用增项、减项、拆项、因式分解等手段,凑出当$n=k$时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.

  • 用数学归纳法证明几何问题

    【例3】 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这$n$个圆将平面分成$f(n)=n^{2}-n+2$个部分$\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.

    分析:因为$f(n)$为$n$个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这$n$个圆相交,就有$2n$个交点,这些交点将增加的这个圆分成$2n$段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成的区域数增加$2n$,即$f(n+1)=f(n)+2 n$.有了上述关系,数学归纳法的第二步证明可迎刃而解.

    反思

    对于用数学归纳法证明几何问题,可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程,或者说体会出是怎样变化的,再去证明.也可以用“递推”的办法,比如本题,当$n=k+1$时的结果已知道:$f(k+1)=(k+1)^{2}-(k+1)+2$,用$f(k+1)-f(k)$就可得到增加的部分,然后从有限的情况来理解如何增加的,也就好理解了.

  • 易错辨析

    易错点:在应用数学归纳法证明有关问题时,两步缺一不可,且最易出错的地方是在第二步证明中未用归纳假设.

    【例4】 已知在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=3$,其前n项和$S_{n}$满足$S_{n}=6-2 a_{n+1}$,计算$a_{2}, a_{3}, a_{4}$,然后猜想出$a_{n}$的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

  • 真题

    1.下列代数式中,$n \in \mathbf{N}^{*}$,则可能被13整除的是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A.} n^{3}+5 n} & {\mathrm{B} \cdot 3^{4 n+1}+5^{2 n+1}} \\ {\mathrm{C} \cdot 6^{2 n-1}+1} & {\mathrm{D} \cdot 4^{2 n+1}+3^{n+2}}\end{array}$

    2.若凸$n$边形有$f(n)$条对角线,则凸$(n+1)$边形的对角线的条数$f(n+1)$为(  )

    $\begin{array}{ll}{A f(n)+n+1} & {B \cdot f(n)+n} \\ {C f(n)+n-1} & {D \cdot f(n)+n-2}\end{array}$

    3.下列四个判断中,正确的是(  )

    A.式子$1+k+k^{2}+\ldots+k^{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,当$n=1$时为1

    B.式子$1+k+k^{2}+\ldots+k^{n-1}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,当$n=1$时为$1+k$

    C.式$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2 n+1}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,当n=1时为$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$

    D.设$f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3 n+1}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,则$f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3 n+1}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,则$f(k+1)=f(k)+\frac{1}{3 k+2}+\frac{1}{3 k+3}+\frac{1}{3 k+4}$

    4.已知在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+1}=2 a_{n}+a_{n-1}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,用数学归纳法证明$a_{4 n}$能被4整除,假设$a_{4 k}$能被4整除,则下一步证明_________. 

    5.某同学用数学归纳法证明等式$1+2+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1$的过程如下:

    (1)当$n=1$时,左边=1,右边=1,等式成立;

    (2)假设当$n=k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right.$,且$k \geqslant 1$)时,等式成立,

    即$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k-1}=2^{k}-1$;

    则当$n=k+1$时,$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k-1}+2^{k} \\ =\frac{2^{k+1}-1}{2-1}=2^{k+1}-1$

    即当$n=k+1$时等式成立.

    根据(1)(2)可知,对任意正整数$n$等式成立.

    以上证明过程的错误是_________. 

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关推荐

向量的应用

1.会用向量方法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题. 2.会用向量方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解的问题.